векторное пространство

векторное пространство (vektornoje prostranstvo)

• IPA:

векторное пространство • (vektornoje prostranstvo) sn

1. (matematika) vektortér

• пространство

---

📌 **Векторное пространство** – это множество **векторов**, где определены **сложение** и **умножение на число**, подчиняющиеся определённым законам.

🔹 **Примеры векторных пространств:** - Двумерные векторы **${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$** (плоскость). - Трёхмерные векторы **${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$** (пространство). - Полиномы, матрицы, функции – тоже примеры векторных пространств!

---

• ** Векторное пространство** – это множество ${\textstyle V}$ с операциями:

- **Сложение векторов**: ${\textstyle u+v}$ - **Умножение на число**: ${\textstyle \lambda \cdot v}$

📌 **8 аксиом векторного пространства:** 1. **Коммутативность сложения:** ${\textstyle u+v=v+u}$. 2. **Ассоциативность сложения:** ${\textstyle (u+v)+w=u+(v+w)}$. 3. **Существование нулевого вектора:** ${\textstyle v+0=v}$. 4. **Существование обратного вектора:** ${\textstyle v+(-v)=0}$. 5. **Ассоциативность умножения на скаляр:** ${\textstyle (\lambda \mu )v=\lambda (\mu v)}$. 6. **Распределение скаляра относительно векторов:** ${\textstyle \lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v}$. 7. **Распределение векторов относительно скаляров:** ${\textstyle (\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v}$. 8. **Умножение на 1 не изменяет вектор:** ${\textstyle 1\cdot v=v}$.

---

1. 1. 1. **1️⃣ Пространство ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ (двумерные векторы)**

✅ Множество всех пар **(x, y)**, где ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$. ✅ Операции: $${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$$ $${\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y)}$$

1. ## **2️⃣ Пространство ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ (трёхмерные векторы)**

✅ Все тройки **(x, y, z)**, где ${\textstyle x,y,z\in \mathbb {R} }$. ✅ Аналогично двумерному пространству.

1. ## **3️⃣ Пространство матриц**

✅ Векторным пространством можно считать **множество всех матриц** одного размера. ✅ Например, **матрицы ${\textstyle 2\times 2}$**: $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}a+e&b+f\\c+g&d+h\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \lambda A={\begin{bmatrix}\lambda a&\lambda b\\\lambda c&\lambda d\end{bmatrix}}}$$

---

📌 Описываем сложение, вычитание и умножение на число.

#include <iostream>
using namespace std;

// Класс двумерного вектора
class Vector2D {
public:
    double x, y;

    // Конструктор
    Vector2D(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}

    // Сложение векторов
    Vector2D operator+(const Vector2D& v) const {
        return Vector2D(x + v.x, y + v.y);
    }

    // Вычитание векторов
    Vector2D operator-(const Vector2D& v) const {
        return Vector2D(x - v.x, y - v.y);
    }

    // Умножение на скаляр
    Vector2D operator*(double scalar) const {
        return Vector2D(x * scalar, y * scalar);
    }

    // Вывод вектора
    void print() const {
        cout << "(" << x << ", " << y << ")" << endl;
    }
};

int main() {
    Vector2D v1(3, 4);
    Vector2D v2(1, 2);

    Vector2D sum = v1 + v2;
    Vector2D diff = v1 - v2;
    Vector2D scaled = v1 * 2;

    cout << "Сумма: "; sum.print();
    cout << "Разность: "; diff.print();
    cout << "Умножение на 2: "; scaled.print();

    return 0;
}

📌 Вывод:

Сумма: (4, 6)
Разность: (2, 2)
Умножение на 2: (6, 8)

📌 Добавляем поддержку скалярного и векторного произведения.

#include <iostream>
using namespace std;

class Vector3D {
public:
    double x, y, z;

    Vector3D(double x = 0, double y = 0, double z = 0) : x(x), y(y), z(z) {}

    // Сложение
    Vector3D operator+(const Vector3D& v) const {
        return Vector3D(x + v.x, y + v.y, z + v.z);
    }

    // Вычитание
    Vector3D operator-(const Vector3D& v) const {
        return Vector3D(x - v.x, y - v.y, z - v.z);
    }

    // Умножение на число
    Vector3D operator*(double scalar) const {
        return Vector3D(x * scalar, y * scalar, z * scalar);
    }

    // Скалярное произведение
    double dot(const Vector3D& v) const {
        return x * v.x + y * v.y + z * v.z;
    }

    // Векторное произведение
    Vector3D cross(const Vector3D& v) const {
        return Vector3D(
            y * v.z - z * v.y,
            z * v.x - x * v.z,
            x * v.y - y * v.x
        );
    }

    void print() const {
        cout << "(" << x << ", " << y << ", " << z << ")" << endl;
    }
};

int main() {
    Vector3D v1(1, 2, 3);
    Vector3D v2(4, 5, 6);

    cout << "Скалярное произведение: " << v1.dot(v2) << endl;
    cout << "Векторное произведение: "; v1.cross(v2).print();

    return 0;
}

📌 Вывод:

Скалярное произведение: 32
Векторное произведение: (-3, 6, -3)

🔹 Векторное пространство – это множество векторов, где можно выполнять сложение и умножение на число.
🔹 В программировании векторы реализуются через классы (Vector2D, Vector3D).
🔹 Применяются в физике, компьютерной графике, машинном обучении и обработке данных. 🚀

• векторное пространство - academic.ru (hu-ru)
• векторное пространство - academic.ru (ru-hu)
• векторное пространство - Szótár.net (ru-hu)
• векторное пространство - Dictzone (ru-hu)
• векторное пространство - LingvoLive
• векторное пространство - Большой толковый словарь
• векторное пространство - Яндекс (ru-hu)
• векторное пространство - Wikidata
• векторное пространство - Wikipédia (orosz)