симплекс-метод

симплекс-метод (simpleks-metod)

• IPA:

симплекс-метод • (simpleks-metod)

1. (informatika) szimplex módszer

Симплекс-метод — это алгоритм, используемый для решения задач линейного программирования, то есть для нахождения оптимального решения задачи, в которой нужно минимизировать или максимизировать линейную функцию при соблюдении определённых линейных ограничений.

Метод был разработан Джорджем Данцигом в 1947 году и является одним из наиболее популярных методов решения задач линейного программирования, благодаря своей эффективности в практике.

Максимизировать (или минимизировать):

$${\displaystyle Z=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n}}$$ при условии: $${\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}\leq b_{1}}$$ $${\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}\leq b_{2}}$$ $${\displaystyle \vdots }$$ $${\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}\leq b_{m}}$$ где:

• ${\textstyle Z}$ — целевая функция,
• ${\textstyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ — переменные,
• ${\textstyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$ — коэффициенты целевой функции,
• ${\textstyle a_{ij}}$ — коэффициенты при переменных в ограничениях,
• ${\textstyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}}$ — правые части ограничений.

1. Преобразование задачи в каноническую форму: - Все ограничения должны быть приведены к форме ${\textstyle a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\dots +a_{in}x_{n}=b_{i}}$, где ${\textstyle b_{i}\geq 0}$.

• Для этого вводятся дополнительные переменные (искусственные переменные или переменные Slack), чтобы все ограничения стали равенствами.

1. Построение начальной симплекс-таблицы:
   • Исходя из преобразованной задачи, строится начальная симплекс-таблица, в которой указаны коэффициенты целевой функции и ограничений.
2. Выбор ведущего столбца (проверка оптимальности):
   • В симплекс-методе выбирается столбец, в котором элемент имеет наибольший (по модулю) коэффициент в строке целевой функции. Это будет переменная, которая будет увеличиваться.
3. Выбор ведущей строки:
   • Для выбранного столбца рассчитывается отношение правых частей ограничений к соответствующим элементам столбца. Это позволяет выбрать строку, которая указывает, какую переменную надо заменить.
4. Проведение итерации:
   • Пересчитываются все элементы симплекс-таблицы, заменяя одну переменную другой (перемещая по таблице), и повторяется процесс.
5. Проверка завершения:
   • Итерации продолжаются, пока все коэффициенты целевой функции не будут отрицательными (для задачи максимизации). Когда это условие выполняется, решение найдено.
6. Интерпретация решения:
   • Полученная симплекс-таблица представляет оптимальное решение задачи.

Задача линейного программирования: Максимизировать ${\textstyle Z=3x_{1}+2x_{2}}$ при ограничениях: $${\displaystyle x_{1}+x_{2}\leq 4}$$ $${\displaystyle 2x_{1}+x_{2}\leq 5}$$ и ${\textstyle x_{1},x_{2}\geq 0}$.

Решение с использованием симплекс-метода включает:

• Введение дополнительных переменных для преобразования неравенств в равенства.
• Построение симплекс-таблицы и итерации до нахождения оптимума.

Преимущества:

• Метод позволяет эффективно решать задачи с большим количеством переменных и ограничений.
• Он хорошо работает на практике, несмотря на теоретическую сложность (в худшем случае его время работы может быть экспоненциальным).

Недостатки:

• Симплекс-метод не гарантирует нахождение глобального оптимума за полиномиальное время в худшем случае.
• Для некоторых типов задач могут быть случаи, когда метод не находит решение, и требуется использование других методов (например, метод внутренней точки).

Таким образом, симплекс-метод остаётся одним из самых эффективных и широко применяемых алгоритмов для решения задач линейного программирования.

• симплекс-метод - academic.ru (hu-ru)
• симплекс-метод - academic.ru (ru-hu)
• симплекс-метод - Szótár.net (ru-hu)
• симплекс-метод - Dictzone (ru-hu)
• симплекс-метод - LingvoLive
• симплекс-метод - Большой толковый словарь
• симплекс-метод - Яндекс (ru-hu)
• симплекс-метод - Wikidata
• симплекс-метод - Wikipédia (orosz)