Abel-Ruffini-tétel

• IPA:

Abel-Ruffini-tétel

1. (matematika, algebra) Ötöd, vagy annál magasabb fokú általános algebrai egyenletnek nincs megoldóképlete.

Az Abel-Ruffini-tétel az algebra egyik alapvető eredménye, amely azt állítja, hogy az általános ötödfokú (vagy magasabb fokú) polinomiális egyenletek megoldása nem lehetséges algebrai módon, azaz nem létezik olyan általános algebrai formula, amely kifejezi az ötödfokú egyenlet gyökeit véges számú művelettel (összeadás, szorzás, gyökök vonása, stb.) és az egyenlet együtthatóival. Azaz nem található olyan formula, amely minden ötödfokú egyenlet gyökeit meghatározza, mint a másodfokú, harmadfokú vagy negyedfokú egyenletek esetén.

- Az algebrai megoldás olyan megoldás, amelyet véges számú algebrai művelet (összeadás, szorzás, gyökök, stb.) alkalmazásával lehet előállítani.

- A polinomiális egyenlet olyan egyenlet, amelyben a változó kitevői egész számok. A legáltalánosabb formája: $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0}$$ ahol ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{1},a_{0}}$ valós vagy komplex számok.

- A gyökök a polinomiális egyenletek megoldásai, és az algebrai műveletek azok a matematikai műveletek, amelyeket használhatunk a gyökök kifejezésére. Az Abel-Ruffini-tétel azt mondja ki, hogy az ötödfokú polinomok és azoknál magasabb fokú polinomok gyökeit nem lehet véges számú algebrai művelet alkalmazásával kifejezni.

Az Abel-Ruffini-tétel bizonyítása az algebra és a csoportelmélet alapjain nyugszik, és az alábbi lépésekben vázolható:

- Tekintsük az ötödfokú polinomot: $${\displaystyle P(x)=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$$ A cél az, hogy megtaláljuk a gyököket, de az Abel-Ruffini-tétel azt állítja, hogy nincs olyan véges számú algebrai művelet, amely kifejezi a gyököket.

- A bizonyítás egyik kulcsa a csoportelmélet alkalmazása, különösen a szimmetriák és a permutációk szerepe. A gyökök permutációs csoportja az, ami meghatározza, hogy egyenletek gyökeit milyen módon lehet elérni algebrai műveletekkel. - Abel és Ruffini bebizonyították, hogy a szimmetrikus csoportokban az ötödik és magasabb rendű egyenletek esetében nem léteznek olyan megoldások, amelyek tisztán algebraiak.

- A tétel bizonyítása a Galois-elmélet alkalmazásán alapul, amely az egyenletek megoldásait és azok csoportjait vizsgálja. Galois kimutatta, hogy az ötödfokú egyenlet megoldásai nem alkothatók csoportok segítségével, ezért nincs olyan általános algebrai megoldás, amely kifejezi az ötödfokú egyenletek gyökeit.

- A bizonyítás kulcseleme, hogy a csoportokban és permutációkban a legnagyobb polinomokra vonatkozóan nincs elegendő struktúra, hogy egy általános algebrai megoldást találjunk.

A másodfokú egyenletre a megoldás a híres másodfokú képlet: $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$ Ez egy algebrai formula, amely minden másodfokú egyenlet gyökeit meghatározza. A Nagy Fermat-tétel kimondja, hogy az ötödfokú vagy magasabb polinomiális egyenletek nem rendelkeznek hasonló, véges számú algebrai megoldással.

A negyedfokú egyenletnek szintén létezik egy algebrai megoldása, amit Ferrari képlete ír le, de az ötödfokú és magasabb egyenletek esetében a megoldások már nem adhatók algebrai műveletekkel.

1. Korlátozott megoldások:

  - Az Abel-Ruffini-tétel kimondja, hogy az ötödfokú egyenletek és magasabb fokú polinomok megoldásai nem adhatók meg algebrai formulákkal, így nem léteznek általános algebrai képletek.

1. Csoportelmélet és algebrai struktúrák:

  - A tétel hozzájárult a csoportelmélet és az algebra fejlődéséhez, mivel a bizonyításhoz a szimmetrikus csoportok és a permutációk elmélete szükséges.

1. Galois-elmélet:

  - Az Abel-Ruffini-tétel szorosan kapcsolódik a Galois-elmélethez, amely az egyenletek gyökét és azok csoportos struktúráját vizsgálja. A tétel hatása a modern algebrai struktúrák megértésére is kiterjed.

Az Abel-Ruffini-tétel azt állítja, hogy az ötödfokú és magasabb polinomiális egyenletek gyökeit nem lehet véges számú algebrai műveletekkel kifejezni. A tétel bizonyítása a csoportelmélet és a Galois-elmélet alkalmazásán alapul, és alapvető hatással volt az algebra és a matematikai logika fejlődésére.

• angol: Abel-Ruffini theorem (en)

• Abel-Ruffini-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Abel-Ruffini-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Abel-Ruffini-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Abel-Ruffini-tétel - DeepL (hu-de)
• Abel-Ruffini-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Abel-Ruffini-tétel - Google (hu-en)
• Abel-Ruffini-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Abel-Ruffini-tétel - Wikidata
• Abel-Ruffini-tétel - Wikipédia (magyar)