Bayes' theorem

Bayes' theorem (tsz. Bayes' theorems)

1. (informatika) Bayes-tétel

A Bayes-tétel (Bayes’ theorem) a valószínűségszámítás egyik alaptétele, amely leírja, hogyan frissíthetjük egy esemény valószínűségét új információk hatására. A tétel lehetővé teszi, hogy megfordítsuk a feltételes valószínűséget, azaz: ha tudjuk, hogy ${\textstyle B}$ milyen valószínűséggel következik be ${\textstyle A}$ ismeretében, akkor kiszámolhatjuk, hogy ${\textstyle A}$ milyen valószínűséggel igaz ${\textstyle B}$ megfigyelése esetén.

$${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}}}$$

Jelölés	Jelentés
${\textstyle P(A\mid B)}$	A valószínűsége, ha tudjuk, hogy B bekövetkezett (posterior)
${\textstyle P(B\mid A)}$	B valószínűsége A esetén (likelihood)
${\textstyle P(A)}$	A kezdeti valószínűsége (prior)
${\textstyle P(B)}$	B teljes valószínűsége (evidence)

A tétel lehetővé teszi, hogy:

• Előzetes tudást (prior) kombináljunk új adatokkal.
• Döntéseket hozzunk bizonytalanság esetén (pl. orvosi diagnózis, spam-szűrés).
• Gépeket tanítsunk bizonytalanság kezelése mellett (Bayesian learning, AI).

Van egy ritka betegség, ami az emberek 1%-át érinti. Van egy teszt, ami 99%-ban pontos (ha beteg vagy, pozitív; ha nem, negatív). Mi a valószínűsége, hogy valóban beteg vagy, ha a teszt pozitív?

• P(Beteg) = 0.01
• P(Pozitív | Beteg) = 0.99
• P(Pozitív | Egészséges) = 0.01
• P(Egészséges) = 0.99

$${\displaystyle P(Beteg\mid Pozitiv)={\frac {0.99\cdot 0.01}{0.99\cdot 0.01+0.01\cdot 0.99}}={\frac {0.0099}{0.0198}}=0.5}$$

👉 Csak 50% az esély, hogy tényleg beteg vagy a pozitív teszt ellenére.

📌 Ez a Bayes-paradoxon: kis előfordulási arány mellett sok a téves pozitív.

• Bayesian Networks (Bayes-hálók): gráf alapú valószínűségi modellek
• Bayesian learning: modellek, amelyek képesek frissíteni a „hitét”
• Bayesian optimization: hiperparaméterek optimalizálása ML-ben

A Bayes-tétel matematikai alapot ad arra, hogyan frissítsünk valószínűségeket új információ hatására. Segítségével okosabb döntéseket hozhatunk bizonytalanság mellett, és központi szerepet játszik a valószínűségi gondolkodásban, statisztikában és mesterséges intelligenciában.

• Bayes' theorem - Szótár.net (en-hu)
• Bayes' theorem - Sztaki (en-hu)
• Bayes' theorem - Merriam–Webster
• Bayes' theorem - Cambridge
• Bayes' theorem - WordNet
• Bayes' theorem - Яндекс (en-ru)
• Bayes' theorem - Google (en-hu)
• Bayes' theorem - Wikidata
• Bayes' theorem - Wikipédia (angol)