Bolzano-Darboux-tétel

• IPA:

Bolzano-Darboux-tétel

1. (matematika)

A **Bolzano–Darboux-tétel** az analízis egyik alapvető eredménye, amely kimondja, hogy a valós számok halmazán értelmezett deriváltfüggvények kielégítik a középértéktulajdonságot, függetlenül attól, hogy folytonosak-e.

Legyen ${\displaystyle f}$ egy ${\displaystyle }$ intervallumon differenciálható függvény. Ekkor, ha ${\displaystyle f'(a)}$ és ${\displaystyle f'(b)}$ között van egy ${\displaystyle c}$ valós szám, azaz: ${\displaystyle f'(a)\leq c\leq f'(b)\quad {\text{vagy}}\quad f'(a)\geq c\geq f'(b),}$ akkor létezik egy ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$, amelyre: ${\displaystyle f'(\xi )=c.}$

Ez azt jelenti, hogy a deriváltfüggvény az ${\displaystyle }$ intervallumon kielégíti a középértéktulajdonságot.

A Bolzano–Darboux-tétel a következő tulajdonságokra épül:

• A deriváltfüggvény nem feltétlenül folytonos, de az "értékei között" minden köztes értéket felvesz.
• Ez hasonló a középértéktételhez, amely a folytonos függvényekre igaz. A Bolzano–Darboux-tétel azonban a deriváltfüggvények esetében folytonosság feltétele nélkül is alkalmazható.

A tétel kimondja, hogy a deriváltfüggvény „viselkedése” nem lehet ugrásszerű, még akkor sem, ha maga a deriváltfüggvény nem folytonos.

Vegyük az alábbi függvényt: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right),&{\text{ha }}x\neq 0,\\0,&{\text{ha }}x=0.\end{cases}}}$

Ez a függvény differenciálható az ${\displaystyle }$ intervallumon, de a deriváltfüggvény nem folytonos. Azonban, ha ${\displaystyle f'(a)=-1}$ és ${\displaystyle f'(b)=1}$, akkor a Bolzano–Darboux-tétel garantálja, hogy létezik egy ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$, ahol ${\displaystyle f'(\xi )=0}$, még akkor is, ha a deriváltfüggvény nem folytonos.

A Bolzano–Darboux-tétel számos területen alkalmazható az analízisben: 1. **Deriváltfüggvények viselkedése:** Segít megérteni a nem folytonos deriváltfüggvények tulajdonságait. 2. **Középértéktulajdonságok elemzése:** Biztosítja, hogy a deriváltfüggvények kielégítik a középértéktulajdonságot. 3. **Topológiai elemzések:** A tétel fontos szerepet játszik az intervallumok köztes értéktulajdonságainak vizsgálatában.

• A Bolzano–Darboux-tétel általánosabb, mint a Lagrange-féle középértéktétel, mivel nem igényli a deriváltfüggvény folytonosságát.
• A tétel szorosan kapcsolódik a középértéktételhez, amely folytonos függvényekre vonatkozik.
• A tétel alkalmazása segíthet olyan függvények tulajdonságainak vizsgálatában, amelyek nem rendelkeznek minden ponton "szép" viselkedéssel, például nem folytonos deriváltú függvények esetén.

A tételt a 19. században dolgozták ki a valós függvények tulajdonságainak részletesebb megértése érdekében. Bernard Bolzano és Gaston Darboux külön-külön fektették le az alapokat, amelyek az analízis fejlődésének sarokkövévé váltak.

• Bolzano-Darboux-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Bolzano-Darboux-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Bolzano-Darboux-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Bolzano-Darboux-tétel - DeepL (hu-de)
• Bolzano-Darboux-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Bolzano-Darboux-tétel - Google (hu-en)
• Bolzano-Darboux-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Bolzano-Darboux-tétel - Wikidata
• Bolzano-Darboux-tétel - Wikipédia (magyar)