Cantor-tétel

• IPA:

Cantor-tétel

1. (matematika, halmazelmélet) ${\displaystyle |H|<|{\mathcal {P}}(H)|}$ egy halmaz számossága kisebb, mint hatványhalmazának számossága. Következik, hogy bármely számosságnál van nagyobb számosság is, azaz végtelen sok különböző számosságot értelmezhetünk.

A Cantor-tétel a halmazelmélet egyik alapvető tétel, amely a végtelen halmazok számosságának összehasonlítására vonatkozik. A tétel azt mondja ki, hogy ha ${\displaystyle S}$ egy halmaz, akkor a halmaz hatványhalmaza (azaz a ${\displaystyle S}$ összes részhalmaza) mindig nagyobb számosságú, mint maga a halmaz. Ez azt jelenti, hogy a hatványhalmaznak nincs olyan bijektív leképezése, amely a halmazra, tehát ${\displaystyle S}$ egy egy-az-egyhez leképezése lenne.

> Tétel (Cantor-tétel): Ha ${\displaystyle S}$ egy halmaz, akkor annak hatványhalmaza, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$, mindig nagyobb számosságú, mint ${\displaystyle S}$, azaz ${\displaystyle |S|<|{\mathcal {P}}(S)|}$.

Ez a tétel azt mutatja, hogy az összes részhalmaz (a hatványhalmaz) a kiinduló halmazhoz képest "számosságilag" nagyobb.

- A halmaz számossága azt a fogalmat jelöli, hogy hány elem található egy adott halmazban. Véges halmazok esetén a számosság egyszerűen a halmaz elemeinek száma, míg végtelen halmazok esetén a számosság az az osztály, amelybe a halmaz tartozik.

- A hatványhalmaz ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ egy halmaz összes részhalmazát tartalmazza, beleértve a nullhalmazt és a halmazt magát is.

- A bijektív leképezés egy olyan leképezés, amely egyértelműen hozzárendel minden elemet egy másik elemhez úgy, hogy minden elemhez pontosan egy másik elem tartozik. A Cantor-tétel szerint nincs bijektív leképezés a halmaz és annak hatványhalmaza között.

Cantor híres bizonyítása a következő lépéseken alapul:

- Tekintsünk egy ${\displaystyle S}$ halmazt. A hatványhalmaz ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ az összes részhalmazát tartalmazza. A cél az, hogy megmutassuk, hogy ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|>|S|}$, tehát a hatványhalmaz számossága nagyobb, mint ${\displaystyle S}$ számossága.

- Tegyük fel, hogy létezik egy bijektív leképezés ${\displaystyle f}$ a halmaz ${\displaystyle S}$ és a hatványhalmaz ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ között, azaz minden ${\displaystyle s\in S}$ egyedülállóan hozzárendelünk egy részhalmazt ${\displaystyle f(s)\in {\mathcal {P}}(S)}$.

- Most definiáljunk egy új halmazt ${\displaystyle T}$, amely a következő módon van meghatározva: ${\displaystyle T=\{s\in S:s\notin f(s)\}}$ Ez a halmaz azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek nem tartoznak saját leképezésükhöz. A kérdés az, hogy ${\displaystyle T}$ részhalmaza-e a ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$-nek.

- Ha ${\displaystyle T\in f(S)}$, akkor létezik egy ${\displaystyle t\in S}$, hogy ${\displaystyle f(t)=T}$. Most két lehetőség van:

 - Ha ${\displaystyle t\in T}$, akkor ${\displaystyle t\notin f(t)}$, de mivel ${\displaystyle f(t)=T}$, akkor ${\displaystyle t\in T}$, ami ellentmondás.
 - Ha ${\displaystyle t\notin T}$, akkor ${\displaystyle t\in f(t)}$, de mivel ${\displaystyle t\notin T}$, ezért ${\displaystyle t\in T}$ ellentmondás.

- Az ellentmondás arra vezet, hogy nincs olyan bijektív leképezés, amely összeköti ${\displaystyle S}$-t és ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$-t. Ezért ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|>|S|}$, tehát a hatványhalmaz mindig nagyobb számosságú, mint maga a halmaz.

- Tekintsük a ${\displaystyle S=\mathbb {N} }$ halmazt, azaz a természetes számok halmazát. A ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$, vagyis a természetes számok hatványhalmaza tartalmazza az összes részhalmazt, például a végtelen részhalmazokat is, így a hatványhalmaz számossága nagyobb, mint ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

- Ha ${\displaystyle S=\{1,2\}}$, akkor ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}$, tehát ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|=4}$, míg ${\displaystyle |S|=2}$, így a tétel itt is érvényes, mert ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ számossága nagyobb, mint ${\displaystyle S}$ számossága.

1. Végtelen halmazok számossága:

  - A Cantor-tétel megerősíti, hogy a végtelen halmazok hatványhalmaza mindig nagyobb számosságú, mint maga a halmaz, így különböző "méretű" végtelenek léteznek.

1. Uncountable halmazok:

  - A tétel segít megérteni a számlálhatatlan halmazokat. A valódi számok halmaza például egy példája a számosság szempontjából "nagyobb" végtelen halmaznak, mint a természetes számok halmaza.

1. Matematikai logika és halmazelmélet:

  - A Cantor-tétel alapvető fontosságú a halmazelméletben, mivel az halmazok különböző számosságait és azok hierarchiáját mutatja be.

A Cantor-tétel alapvető eredmény a halmazelméletben, amely kimondja, hogy egy halmaz hatványhalmaza mindig nagyobb számosságú, mint maga a halmaz. Ez a tétel a végtelen halmazok számosságának vizsgálatában fontos szerepet játszik, és megerősíti, hogy a végtelen halmazok különböző "méretűek" lehetnek.

• angol: Cantor's theorem (en)

• Cantor-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Cantor-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cantor-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Cantor-tétel - DeepL (hu-de)
• Cantor-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Cantor-tétel - Google (hu-en)
• Cantor-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Cantor-tétel - Wikidata
• Cantor-tétel - Wikipédia (magyar)