Ceva-tétel

• IPA:

Ceva-tétel

1. (matematika) Az ${\displaystyle ABC}$ háromszögben ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$ és ${\displaystyle CF}$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban (${\displaystyle O}$), ha

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}$.

A Ceva-tétel az euklideszi geometriában a háromszögek speciális pontjait és egyeneseit összekapcsoló eredmény. Ez a tétel egy háromszög oldalait metsző három egyenes közös pontjának feltételét adja meg.

> Tétel: Legyen adott egy ${\displaystyle \triangle ABC}$ háromszög. Az ${\displaystyle A,B,C}$ csúcsokon átmenő három ${\displaystyle AD,BE,CF}$ egyenes akkor és csak akkor metszik egymást egy közös pontban, ha: $${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.}$$

1. Adott háromszög: ${\displaystyle \triangle ABC}$, ahol ${\displaystyle A,B,C}$ a háromszög csúcsai.
2. Metszéspontok az oldalakkal:

  - ${\displaystyle AD}$ metszéspontja ${\displaystyle BC}$-vel: ${\displaystyle D}$,
  - ${\displaystyle BE}$ metszéspontja ${\displaystyle AC}$-val: ${\displaystyle E}$,
  - ${\displaystyle CF}$ metszéspontja ${\displaystyle AB}$-vel: ${\displaystyle F}$.

1. Ceva-egyenesek:

  - Az ${\displaystyle AD,BE,CF}$ egyenesek egy közös pontban metszik egymást, ha a fenti arány igaz.

Tegyük fel, hogy az ${\displaystyle AD,BE,CF}$ egyenesek egy közös pontban, ${\displaystyle P}$-ben metszik egymást.

A háromszög területi arányait használva: $${\displaystyle {\frac {{\text{terület}}(\triangle APB)}{{\text{terület}}(\triangle CPB)}}={\frac {AF}{FB}},}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{terület}}(\triangle BPC)}{{\text{terület}}(\triangle APC)}}={\frac {BD}{DC}},}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{terület}}(\triangle CPA)}{{\text{terület}}(\triangle BPA)}}={\frac {CE}{EA}}.}$$

A három arány szorzata egyenlő 1-gyel: $${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,}$$ mivel a területek egymást kölcsönösen kioltják.

Ez bizonyítja, hogy az ${\displaystyle AD,BE,CF}$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy közös pontban, ha a fenti arány igaz.

A tétel fordítottja is igaz: - Ha ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}$, akkor az ${\displaystyle AD,BE,CF}$ egyenesek egy közös pontban metszik egymást.

- A háromszög súlyvonalai (${\displaystyle AD,BE,CF}$) mindig egy közös pontban, a háromszög súlypontjában metszik egymást. - Súlyvonalak esetén:

 ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {BD}{DC}}={\frac {CE}{EA}}=2,}$
 így:
 ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.}$

- Ha ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}=3}$, ${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}=2}$, és ${\displaystyle {\frac {CE}{EA}}={\frac {1}{6}}}$, akkor:

 ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=3\cdot 2\cdot {\frac {1}{6}}=1.}$
 Így az ${\displaystyle AD,BE,CF}$ egyenesek egy pontban metszik egymást.

1. Súlypont, magasság, szögfelező:

  - A tétel speciális esetei a háromszög nevezetes pontjaira alkalmazhatók, például a súlyvonalakra vagy szögfelezőkre.

1. Háromszög geometriai szerkezete:

  - A Ceva-tétel segít megérteni, hogy mikor és miért metszik egymást a háromszög különböző egyenesei.

1. Geometriai számítások egyszerűsítése:

  - Az arányok alkalmazásával a metszéspontok meghatározása egyszerűbbé válik.

A Ceva-tétel az euklideszi geometria egyik kulcstétele, amely a háromszögek egyenesinek közös metszéspontját írja le. A tétel alapvető eszköz a geometriai bizonyításokban és a háromszögek tulajdonságainak vizsgálatában. Az arányossági feltétel és annak fordítottja erőteljes módszert kínál a háromszög nevezetes pontjainak és vonalainak tanulmányozására.

• angol: Ceva's theorem (en)

• Ceva-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Ceva-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Ceva-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Ceva-tétel - DeepL (hu-de)
• Ceva-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Ceva-tétel - Google (hu-en)
• Ceva-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Ceva-tétel - Wikidata
• Ceva-tétel - Wikipédia (magyar)