Cholesky-felbontás

• IPA:

Cholesky-felbontás

1. (matematika) A Cholesky-dekompozíció egy numerikus módszer, amelyet egy pozitív definit mátrix alsó háromszög mátrix és annak transzponáltja szorzataként való faktorizálására használnak. Konkrétan, ha ${\textstyle A}$ egy szimmetrikus pozitív definit mátrix, akkor a Cholesky-dekompozíció segítségével a következőképpen írhatjuk fel:

$${\displaystyle A=LL^{T}}$$

ahol ${\textstyle L}$ egy alsó háromszög mátrix, és ${\textstyle L^{T}}$ annak transzponáltja.

A Cholesky-dekompozíció jellemzői 1. Egyediség: A dekompozíció egyedi, ha ${\textstyle L}$ átlóelemei pozitívak. 2. Hatékonyság: Hatékonyabb más módszereknél lineáris egyenletrendszerek megoldásához, különösen, ha a mátrix nagy és ritka.

Algoritmus A Cholesky-dekompozíció kiszámításához egy ${\textstyle A}$ mátrix esetében:

1. Inicializálás: ${\textstyle L}$ mátrixot nullákkal teli mátrixként indítjuk, amely azonos méretű, mint ${\textstyle A}$. 2. Minden egyes sor ${\textstyle i}$-ra: - Számítsuk ki az átlóelemet: $${\displaystyle L_{ii}={\sqrt {A_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}L_{ik}^{2}}}}$$ - Minden ${\textstyle j}$ oszlopra az átló alatt: $${\displaystyle L_{ji}={\frac {1}{L_{ii}}}\left(A_{ji}-\sum _{k=1}^{i-1}L_{jk}L_{ik}\right)}$$

Példa Tekintsük a következő mátrixot:

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&12&-16\\12&37&-43\\-16&-43&98\end{pmatrix}}}$$

Az ${\textstyle L}$ kiszámításához:

1. Számítsuk ki ${\textstyle L_{11}}$: $${\displaystyle L_{11}={\sqrt {4}}=2}$$

2. Számítsuk ki ${\textstyle L_{21}}$ és ${\textstyle L_{31}}$: $${\displaystyle L_{21}={\frac {12}{2}}=6,\quad L_{31}={\frac {-16}{2}}=-8}$$

3. Számítsuk ki ${\textstyle L_{22}}$: $${\displaystyle L_{22}={\sqrt {37-6^{2}}}={\sqrt {1}}=1}$$

4. Számítsuk ki ${\textstyle L_{32}}$: $${\displaystyle L_{32}={\frac {-43-(-8)(6)}{1}}=-1}$$

5. Számítsuk ki ${\textstyle L_{33}}$: $${\displaystyle L_{33}={\sqrt {98-(-8)^{2}-(-1)^{2}}}={\sqrt {30}}}$$

Így az alsó háromszög mátrix:

$${\displaystyle L={\begin{pmatrix}2&0&0\\6&1&0\\-8&-1&{\sqrt {30}}\end{pmatrix}}}$$

Alkalmazások A Cholesky-dekompozíciót széles körben használják numerikus analízisben, különösen lineáris egyenletrendszerek, optimalizálási problémák és Monte Carlo szimulációk megoldásához.

• Cholesky-felbontás - Értelmező szótár (MEK)
• Cholesky-felbontás - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cholesky-felbontás - Szótár.net (hu-hu)
• Cholesky-felbontás - DeepL (hu-de)
• Cholesky-felbontás - Яндекс (hu-ru)
• Cholesky-felbontás - Google (hu-en)
• Cholesky-felbontás - Helyesírási szótár (MTA)
• Cholesky-felbontás - Wikidata
• Cholesky-felbontás - Wikipédia (magyar)