Coppersmith-Winograd-algoritmus
A Coppersmith-Winograd-algoritmus egy mátrixszorzásra szolgáló algoritmus, amelyet a gyors mátrixszorzás problémájának megoldására fejlesztettek ki. Az algoritmus célja a mátrixszorzás aszimptotikus futási idejének minimalizálása, különösen nagy mátrixok esetén.
A mátrixszorzás alapképlete: ahol: - ( A ) és ( B ) ( n n )-es mátrixok, - ( C ) az eredményül kapott mátrix.
Az algoritmus a mátrixblokk-szerkezetet és a polinomiális interpolációt használja, hogy minimalizálja a szorzáshoz szükséges alapműveletek számát. Ez egy rekurzív algoritmus, amely az alábbi kulcslépéseket tartalmazza:
A Coppersmith-Winograd algoritmus teljes implementációja meglehetősen bonyolult, de az alábbiakban bemutatok egy egyszerű mátrixszorzás implementációt, amely az algoritmus egy részét illusztrálja.
import numpy as np
def matrix_multiply(A, B):
"""
Egyszerű mátrixszorzás, amely a blokkosítás alapjait illusztrálja.
:param A: Első mátrix
:param B: Második mátrix
:return: Szorzatmátrix
"""
n = len(A)
if n == 1:
return * B]]
# Mátrixok blokkosítása
mid = n // 2
A11, A12, A21, A22 = A, A, A, A
B11, B12, B21, B22 = B, B, B, B
# Blokkok szorzása rekurzívan
C11 = np.add(matrix_multiply(A11, B11), matrix_multiply(A12, B21))
C12 = np.add(matrix_multiply(A11, B12), matrix_multiply(A12, B22))
C21 = np.add(matrix_multiply(A21, B11), matrix_multiply(A22, B21))
C22 = np.add(matrix_multiply(A21, B12), matrix_multiply(A22, B22))
# Mátrix összeszerelése
top = np.hstack((C11, C12))
bottom = np.hstack((C21, C22))
return np.vstack((top, bottom))
# Példa használat
A = np.array(, ])
B = np.array(, ])
C = matrix_multiply(A, B)
print("Szorzatmátrix:\n", C)
Az alábbi C++ kód egy egyszerű blokkos mátrixszorzást mutat be, amely a Coppersmith-Winograd algoritmus alapötletét illusztrálja.
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef vector<vector<int>> Matrix;
Matrix matrixMultiply(const Matrix& A, const Matrix& B) {
int n = A.size();
Matrix C(n, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
for (int k = 0; k < n; ++k) {
C += A * B;
}
}
}
return C;
}
int main() {
Matrix A = {{1, 2}, {3, 4}};
Matrix B = {{5, 6}, {7, 8}};
Matrix C = matrixMultiply(A, B);
cout << "Szorzatmátrix:" << endl;
for (const auto& row : C) {
for (int val : row) {
cout << val << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
Kimenet:
Szorzatmátrix: 19 22 43 50