Fubini-tétel

• IPA:

Fubini-tétel

1. (matematika) A **Fubini-tétel** az integrálszámítás egyik alapvető tétele, amely kimondja, hogy megfelelő feltételek mellett a kettős integrálok számítása egyszerűsíthető iterált integrálokká. Ez lehetővé teszi, hogy a többváltozós integrálokat egyváltozós integrálok sorozatára bontsuk.

Ez azt jelenti, hogy a kétszeres integrál értéke nem függ az iterált integrál sorrendjétől, feltéve hogy a feltételek teljesülnek.

1. **Integrálhatóság**:

  - A ${\displaystyle f(x,y)}$ függvénynek Lebesgue-integrálhatónak kell lennie a ${\displaystyle D}$ tartományon.

1. **Zárt tartomány**:

  - A ${\displaystyle D}$ tartomány általában egy zárt téglalap (${\displaystyle \times }$).

1. **Folytonosság vagy Lebesgue-integrálhatóság**:

  - Ha ${\displaystyle f(x,y)}$ folytonos, a tétel automatikusan teljesül.
  - Lebesgue-integrálhatóság esetén további feltételek szükségesek, például abszolút integrálhatóság.

A Fubini-tétel lehetővé teszi, hogy a kétszeres integrált iterált integrálként írjuk fel: $${\displaystyle \int \int _{D}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\left(\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)dx=\int _{c}^{d}\left(\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)dy.}$$ Ez jelentősen egyszerűsíti a többváltozós integrálok számítását, mert így a két dimenziót külön-külön kezelhetjük.

Tegyük fel, hogy ${\displaystyle f(x,y)}$ egy darabonként folytonos függvény a ${\displaystyle D=\times }$ téglalapon. Lebesgue-integrálható függvények esetén a bizonyítás további technikai részleteket igényel.

Legyen a belső integrál: $${\displaystyle F(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy,}$$ és számítsuk ki ennek külső integrálját: $${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)dx.}$$ Ez adja a kettős integrált az ${\displaystyle x}$-irány szerinti iterált integrál formájában.

- A Lebesgue-integrálhatóság miatt a ${\displaystyle f(x,y)}$ függvény integrálható a ${\displaystyle \times }$ tartományon. - A szimmetrikus feltételek biztosítják, hogy a deriváltak és határértékek felcserélhetők: $${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy.}$$

Mivel az iterált integrál sorrendje nem változtatja meg az integrál értékét, a kétszeres integrál értéke az iterált integrálok bármely sorrendjében azonos.

Legyen: $${\displaystyle f(x,y)=x+y,\quad D=\times .}$$ Számítsuk ki a kettős integrált: $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y)\,dy\,dx.}$$ 1. Belső integrál (${\displaystyle y}$-szerint): $${\displaystyle \int _{0}^{1}(x+y)\,dy=\left_{0}^{1}=x+{\frac {1}{2}}.}$$ 2. Külső integrál (${\displaystyle x}$-szerint): $${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)dx=\left_{0}^{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1.}$$

Legyen: $${\displaystyle f(x,y)=xy,\quad D=\times .}$$ 1. Iterált integrál (${\displaystyle x}$-szerint belül, ${\displaystyle y}$-szerint kívül): $${\displaystyle \int _{0}^{3}\int _{0}^{2}xy\,dx\,dy=\int _{0}^{3}\left_{0}^{2}\,dy=\int _{0}^{3}2y\,dy=\left_{0}^{3}=9.}$$ 2. Felcserélve a sorrendet: $${\displaystyle \int _{0}^{2}\int _{0}^{3}xy\,dy\,dx=\int _{0}^{2}\left_{0}^{3}\,dx=\int _{0}^{2}{\frac {9x}{2}}\,dx=\left_{0}^{2}=9.}$$ Mindkét esetben az eredmény ugyanaz.

1. **Iterált integrálok kiszámítása**:

  - A tétel lehetővé teszi, hogy a kettős integrálokat iterált integrálokra bontsuk, megkönnyítve a számítást.

1. **Szimmetria a dimenziók között**:

  - A Fubini-tétel biztosítja, hogy a dimenziók sorrendje felcserélhető, ha a feltételek teljesülnek.

1. **Lebesgue-integrál alkalmazása**:

  - A tétel alapvető szerepet játszik a Lebesgue-integrál elméletében, amely általánosítja a Riemann-integrált.

A **Fubini-tétel** a többdimenziós integrálszámítás kulcsfontosságú eszköze, amely lehetővé teszi, hogy kettős (vagy magasabb rendű) integrálokat iterált integrálokká alakítsunk. Ez jelentős mértékben megkönnyíti az integrálok kiszámítását mind az elméleti, mind a gyakorlati alkalmazásokban.

• angol: Fubini's theorem (en)

• Fubini-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Fubini-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Fubini-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Fubini-tétel - DeepL (hu-de)
• Fubini-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Fubini-tétel - Google (hu-en)
• Fubini-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Fubini-tétel - Wikidata
• Fubini-tétel - Wikipédia (magyar)