Hilbert's problems (tsz. Hilbert's problemses)

1. (informatika) Hilbert-problémák

David Hilbert 1900-ban, a párizsi Nemzetközi Matematikai Kongresszuson 23 nyitott matematikai problémát ismertetett, amelyek alapvetően befolyásolták a XX. század matematikai kutatásának irányát. Azóta egyes kérdésekre megtalálták a választ, mások továbbra is nyitottak, de valamennyi ösztönzőleg hatott az innovációra és a matematikai elméletek általánosítására.

Hilbert első problémája a kontinuumhipotézis volt: van-e a természetes számok halmaza és a valós számok halmaza közötti „köztes” végtelenség? (Könnyű látni, hogy a természetes számok száma ‑aleph-null‑ kisebb, mint a valós számok száma.) 1940-ben Kurt Gödel megmutatta, hogy a standard halmazelméleti axiómarendszerből (ZF(C)) nem lehet sem bebizonyítani, sem cáfolni a kontinuumhipotézist. 1963-ban Paul Cohen bizonyította be a másik irányt, így a kontinuumhipotézis függetlenné vált az axiómáktól. Jelentősége: ennek a függetlenségi eredménynek köszönhetően világossá vált, hogy bizonyos alapkérdések nem oldhatók meg az általánosan elfogadott axiómarendszer keretein belül, és ez alapvetően befolyásolja a matematika filozófiáját.

A második probléma arra irányult, hogy a Peano-féle axiómarendszer (aritmetika) ellentmondásmentességét belső módszerekkel igazoljuk. Gödel 1931-ben bebizonyította második nemteljességi tételében, hogy egy formális rendszer nem tudja önmagában bizonyítani saját ellentmondásmentességét. Ennek megfelelően nem létezik olyan „tiszta” Peano-axiomatika-alapú bizonyítás, amely önmagában garantálja, hogy az aritmetikában nem bukkan fel ellentmondás. (Felépült ugyanakkor a Gentzen-féle módszer: Gerhard Gentzen 1936-ban transzfinit indukcióval ε₀-ig bizonyította a Peano-axiómák ellentmondásmentességét, de ez egy erősebb elméletre épül.) E probléma jelentősége, hogy világosan kimutatta Hilbert-program korlátait és bevezette a modern metamatematika fogalmait.

A harmadik probléma a síkbeli sokszögek akármilyen metszetekkel átdarabolhatóak-e egymásba fogalmát általánosította térbeli poliéderekre. Kérdés: két azonos térfogatú poliéder azonos darabszámú, poliéder alakú darabra vágható-e úgy, hogy ezekből egymásba szerkeszthetők legyenek? A kérdésre Max Dehn még 1900-ban negatív választ adott: például az egységoldalú kockát nem lehet végletes számú poliéder-darabból összerakni egy vele azonos térfogatú szabályos tetraéderré. Dehn megalkotta az ún. Dehn-invariánst, ami kimutatta, hogy egyes poliéderek nem egyen-lomtérfogásúak az elbonthatóság szempontjából sem. Eredménye azt is jelenti, hogy a térfogat fogalmát nem lehet pusztán véges diszkretizált módszerekkel definiálni. (A probléma lényegében megoldottnak tekinthető Dehn eredménye után.)

A negyedik probléma a projektív geometria metrikus szerkezetére kérdez rá: milyen metrikákban (geometriákban) lesz az egyenes a két pont közötti legrövidebb út, ha közben egyes euklideszi axiómákat elhagyunk? Másképpen, milyen „absztrakt Finsler‐” vagy más geometriák léteznek, amelyekben a geodetikusok egyenesek, de nem mind érvényesek az összes euklideszi szabály? Hilbert eredeti megfogalmazása nagyon tág volt és némi homály is övezte, ezért ma sokan túlságosan általánosnak tartják. Azonban több konkrét értelmezése mellett születtek eredmények: Georg Hamel már 1903-ban részleges eredményeket adott (például felsorolta az ún. Hamel-metrikákat). A feladat jelentősége abban rejlik, hogy új geometriai struktúrákat és Finsler‐metrikákat ismertettünk meg vele a geodetikusok fogalma mellett.

Az ötödik probléma a Lie‐csoportok felépítését vizsgálta differenciálhatóság feltevése nélkül: Vajon minden összefüggő, lokálisan euklideszi topologikus csoport elemi módon (homeomorfiával) ad-e Lie-csoport-struktúrát? 1952-ben Andrew Gleason, Deane Montgomery és Leo Zippin kimutatta, hogy igen – helyes a Lie-elmélet differenciálhatóság nélkül is, azaz bármely efféle topologikus csoportot sima sokasággal és sima szorzással rendelkező Lie-csoportként értelmezhetünk. (Ez a Gleason–Montgomery–Zippin tétel.) A probléma fontossága abban van, hogy az általános topologikus csoportok és Lie-csoportok elméletét összekapcsolta, és kimondta: a „kicsi altételek nélküli” csoportok már Lie-csoportok.

A hatodik probléma Hilbert azon célját fogalmazta meg, hogy a matematikai fizika egyes ágainak (klasszikus mechanika, statisztikus mechanika, valószínűségelmélet, majd később relativitás és kvantummechanika) jellemzően matematikai formulációját is tetszőleges axiómarendszerbe lehessen ágyazni. A kérdés nagy teret ölel fel: részben a valószínűségszámítás jogi kereteit (például Kolmogorov axiómarendszere, 1933) jelenti, részben a mechanika axiomatikus megalapozását. Bár egyes részeredmények megszülettek (például Kolmogorov hozzájárulása a valószínűségi elmélethez), egységes, mindent átfogó fizikai axiómarendszer – különösen elméletileg egységes fizikai elmélet hiányában – máig nem alakult ki. (Az ötvenes években kifejlesztették a relativitáselmélet és a kvantummechanika axiómáját, de a „mindenség elméletét” hiába kerestük – így a probléma általános megválaszolása elmaradt.)

A hetedik probléma az úgynevezett Gelfond–Schneider-probléma: legyen ${\textstyle a}$ algebrai (racionális együtthatós polinompéldára nullára eső) szám (${\textstyle a\neq 0,1}$), és ${\textstyle b}$ legyen irracionális algebrai szám. A kérdés az, hogy az ${\textstyle a^{b}}$ számnak transzcendensnek kell‑e lennie. Alexander Gelfond 1934-ben bebizonyította, hogy igen, az ilyen ${\textstyle a^{b}}$ tényleg transzcendens. (Függetlenül ugyanebben az évben Theodor Schneider is bizonyította, a két eredményt ma Gelfond–Schneider‐tételként ismerjük.) Vagyis a feltétel teljesítése garantálja a transzcendenciát. A probléma jelentősége: új transzcendencia‐tételekhez vezetett, bővítve Lindemann-típusú eredményeket, és fontos eszköz lett a számelméletben és a transzcendenciaelméletben.

A nyolcadik probléma a prímszámok eloszlásával kapcsolatos kérdések gyűjtőneve volt. Itt szerepel a híres Riemann-sejtés (a prímeloszlást leíró Riemann-zéta-analízis zérushelyeire vonatkozó hipotézis) és további ismert sejtések (például a Goldbach-sejtés és az ikerprím-sejtés). A feladat Hilbert szerint a prímszámeloszlás mélyebb szabályainak feltárása volt. E kérdések közül a prímtételt (Prime Number Theorem, a prímek természetes szám szerinti eloszlásának aszimptotikája) már a századfordulókor bizonyították (Hadamard, de la Vallée-Poussin, 1896). A többi állítás azonban ma is nyitott: a Riemann-sejtést nem tudjuk bebizonyítani, a Goldbach-sejtést sem (a gyenge Goldbach-sejtést Vinogradov és mások részben sikerrel vizsgálták), és az ikerprím-sejtés is eredménytelen a teljes bizonyításban (bár Kin Hung és a Polymath-csoport újabban a prímhézagok finomításán dolgozott). Összefoglalva: Hilbert 8. probléma nagy (és egyelőre megoldatlan) conjecturalis kérdések gyűjteménye volt, melyek közül a legtöbb csak részlegesen, inkább technikai előrelépések formájában oldódott meg a XX. században.

A kilencedik probléma az algebrai számterek általános reciprokossági törvényeit (reciprocity law) írta le. Ez a Gauss‐féle kvadratikus reciprocitás elvének és kiterjesztéseinek általánosítása: meg kell adni a legáltalánosabb reciprocity‐tételt egy ${\textstyle n}$-edfokú számtestben. A válasz részben megtalálták: a teljesszámtestek (avató jellegű kiterjesztések) esetében az osztálymezők elmélete (Takagi, Artin, Hasse munkái az 1920-as évektől) megadta az abszolút galois‐rek számaihoz tartozó reciproki‐törvényt. Ugyanakkor a teljes, nemabeli általánosítás – vagyis amikor a kiterjesztés nem feltétlenül abel csoportú – máig nem rendelkezik egyetlen, zárt formájú kijelentéssel. Több részprobléma lezárult, de a Hilbert 9-es általános esete nyitott kérdés. (Részben ez volt a Klasszikus osztálymező-elmélet lényegi területe, de az összes esetbeli gyakorlati reciprokosság törvényének megfogalmazása továbbra is kutatás tárgya.)

A tizedik probléma arra kereste a választ, hogy létezik-e általános algoritmus arra, hogy egy adott többváltozós, egész együtthatós polinomegyenlet (diofantikus egyenlet) egész megoldhatóságát eldöntse. A cél az volt, hogy legyen egy olyan számítógépes eljárás, amely megmondja, van-e egész megoldás. 1970-ben Yuri Matyijasevics bebizonyította, hogy nem létezik ilyen algoritmus. (Davis, Putnam és Robinson közreműködésével elérték a hihetetlen eredményt: a Fibonacci-számok kifejezésére épülő egyenlet megmutatta, hogy az egész diofantoszi egyenletek osztálya rekurzívan felsorolhatatlan és megoldhatatlan.) Ez azt jelenti, hogy nincs „mindenek felett álló” eljárás erre a feladatra. A probléma jelentősége az algoritmuselmélet és a logika határán van: a számelmélet egy alapvető kérdése – vannak-e véges eljárással eldönthető dolgok – algoritmikusan lehetetlen feladattá vált.

A tizenegyedik probléma általános számtestek feletti kvadratikus alakok elméletét tűzte ki célul. Hilbert meg akarta találni, hogyan lehet ilyen formákat osztályozni, és eldönteni, mikor reprezentálnak két alak ugyanazokat az egész számokat. A 20. században az algebrai számtestek feletti kvadratikus formaelmélet (pl. Hasse–Minkowski-tétel) felépült, és részletes megoldások születtek. Így sok esetben van teljes elmélet: Helmut Hasse és mások a főtételt bizonyították be (például a Nem-infinitaxioma és a Hasse-elmélet). A teljes probléma azonban magában foglalja a legáltalánosabb számtesteket is, amelyre egységes, egyszerű válasz nem ismert. Összefoglalva: nagyrészt a kvadratikus forma-elméletet kiépítették, de a Hilbert 11. feladat általánosítása komplex és részben megoldatlan kérdés maradt.

A tizenkettedik probléma a Kronecker–Weber-tétel általánosítása volt: ez a tétel kimondja, hogy a racionális számteret Abel-csoportú kiterjesztésének törtfénnyel bővített „kör” (ciklotómikus) kiterjesztésben kell benne lennie. Hilbert feladata azt kérdezte: hogyan lehet ezt a tételt kiterjeszteni tetszőleges algebrai számtestre (például máshol mint ${\textstyle \mathbb {Q} }$)? Ez a „Hilbert 12. probléma” fontos számelméleti kutatási iránnyá vált. Néhány számtest esetében részleges eredmények vannak: például imaginárius kvadratikus számtestekben ismert a komplex szorzás elmélete, de általánosságban még nem sikerült megfogalmazni egy minden algebrai számtestre kiterjedő elméletet. A magyarul idézett forrás is megerősíti, hogy 2020-ig a kérdés nyitva áll.

A tizenharmadik probléma különlegesen fogalmazta meg: az ${\textstyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0}$ alakú egyenleteket tekintette. Hilbert megkérdezte, hogy ezen hetedfokú egyenletek megoldásai felírhatók-e véges sok kétváltozós függvény kompozíciójaként (azaz függvényösszetételek formájában). 1957-ben Andrey Kolmogorov és Vladimir Arnold megdöbbentő eredményt publikált: bármely folyamatos ${\textstyle n}$-változós függvény, beleértve itt ${\textstyle n=7}$ esetét is, valóban előáll véges sok kétváltozós folyamatos függvény összetételével. Így a folyamatos függvények esetében a kérdésre „igen” a válasz. (Ha azonban erősebb feltételeket – például elemibb algebrai alakítottságot – követelnénk meg a függvényekről, a kérdés továbbra is vizsgálat alatt áll.) A magyar szöveg is megerősíti, hogy az általános kérdésre igenlő választ kaptunk.

A tizennegyedik probléma az algebrai invariánsok elméletére vonatkozott: Hilbert korábbi eredményeire alapozva feltette a kérdést, hogy bizonyos gyűrűk invariánsrendszerei véges generátorúak-e (ismeretes a Hilbert-bázisteljességi tétel a polinomgyűrűkre). 1959-ben Maszajosi Nagata bemutatta a meglepő ellenpéldát: talált olyan invariánsgyűrűt, ami nem végesen generált. Ez azt jelenti, hogy az invariáns-elmélet általános formájában nincs mindig „rögzített számú alapegység”, ahogy Hilbert remélte. A probléma fontos eredményeivel rámutatott a véges generáltság határaira.

A tizenötödik probléma Schubert enumeratív (számoló) geometriai tételrendszerének szilárd alapokra helyezését kívánta. Hilbert arra hívta fel a figyelmet, hogy Schubert geometriai kombinatorikáját más alapossággal kell kezelni. A XX. század közepére a modern algebrai geometria és a kohomológiaeszközök (például a Chern-osztályok, Chow‐körök) segítségével nagy előrelépés történt: sikerült megadni a Schubert‐kalkulus rigorózus alappilléreit. Bár a probléma formalizált megoldása nem egyetlen tételhez köthető, a matematika fejlődése lehetővé tette, hogy Schubert szabályait pontosabban megfogalmazzuk és igazoljuk. Mai álláspont szerint a Schubert‐geometria alapjai sok tekintetben leírtak és jól megértettek.

A tizenhatodik Hilbert-probléma a valós algebrai görbék és felületek elhelyezkedését tárgyalta. Egyszerű példákkal érzékeltette: egy egyenlet (pl. ${\textstyle ax+by=c}$) egyenest, egy másodfokú egyenlet konikát hoz létre. Hilbert kérte egy általános elmélet kidolgozását a polinom egyenletek által definiált alakzatokra (pl. hány komponensük lehet, milyen konfigurációban helyezkedhetnek el). A megoldás ezen a téren részben részleges: a síkgörbék eseteit (Harnack‐tétel, Hilbert-rendszerek) mára jól ismerjük, de teljesen átfogó válasz csak kis fokszámig van – a cikk szerint például nyolcadfokú görbék esetén is nyitottak egyes kérdések. Összességében Hilbert 16. kérdésének teljes megoldása 2020-ban sem ismert, de sok részlet (például a komponensek maximális száma alacsony fokszámban) publikált eredményeken alapul.

A tizenhetedik probléma azt kérdezte: vegyünk egy úgynevezett pozitív definit polinomot (vagy általánosabban racionális függvényt), amely minden valós argumentumon nemnegatív értéket vesz fel. Feltehető-e, hogy egy ilyen függvény felírható négyzetszorzatok összegeként (azaz racionális függvények négyzetei összegeként)? Emil Artin 1927-ben bizonyította be, hogy igen: bár a polinom maga nem feltétlenül négyzetszám, mindig felbontható racionális függvények négyzetei összegére. (Hilbertnek erre részben már n=1 esetben is volt eredménye.) A magyar forrás szintén megerősíti, hogy Artin adta meg a bizonyítást. Ez az eredmény fontos lett az algebrai geometriában és optimális döntési eljárásokban is.

A tizennyolcadik probléma több kérdésből állt: (1) Kristálycsoportok osztályozása: azon kérdezték, hogy n-dimenziós euklideszi térben véges sok nemizomorf térbeli tapétacsoport (transzlációt is tartalmazó szimmetriacsoport) van-e? Korán kiderült, hogy a síkban 17, a háromdimenziós térben 230 ilyen csoport van, és Bieberbach (1910) bizonyította, hogy általában is véges sok euklideszi kristálycsoport létezik. (2) Izódronális burkolatok: Hilbert érdeklődött, léteznek-e olyan testek, amelyek nem izodróniák a burkolásban. Reinhardt 1928-ban talált példát 3D-ben, és Heesch 1948-ban 2D-ben is nem-izodróniás négyzet-parkettát. (3) Legdenssebb gömbkitöltés (Kepler-sejtés): mely gömbkitöltés a legsűrűbb. Ezt Thomas Hales számítógépes bizonyítással oldotta meg 1998-ban (megmutatta, hogy az ismert „kanál‐barack” (FCC vagy HCP) rácsok a legoptimálisabbak). Ezeket együttesen tekintjük Hilbert 18. problémájának. Összefoglalva: az első részre igen a válasz (rögzített dimenzióban véges a csoporjszám), a másodikra Reinhardt‐Heesch példák negatív példák (ilyen burkolatok vannak), a harmadikra pedig Hales bizonyította a legdenssébb gömbcsomó választ.

A tizenkilencedik probléma azt kérdezte, hogy az elliptikus parciális differenciálegyenletek (amelyek a variációs feladatok Euler–Lagrange-egyenletei) megoldásai mindig analitikus függvények-e. Sergey Bernstein 1904-ben megmutatta, hogy ha egy ilyen megoldás elégszer differenciálható (több mint kétszer), akkor mindenhol analitikus. (Ivan Petrovszkij később tovább finomította a feltételeket és általánosabb osztályokra kiterjesztette ezt az eredményt.) Így a 19. probléma lényege szerint igenlő választ kapott abban az értelemben, hogy a legismertebb esetekben a megoldások analitikusak. Jelentősége: a variációs problémák simaság-kérdéseit kötötte össze a klasszikus PDE-elmélettel, előírva a megoldások erősebb tulajdonságait.

A huszadik probléma arra irányult, hogy általános feltételek mellett biztosított legyen megoldás létezése egy variációs egyenlethez. Pontosabban: adjunk eljárást vagy kritériumrendszert, ami eldönti vagy garantálja, hogy egy adott variációs feladatnak van megoldása. A végeredmény az, hogy a variációs elméletben számos általános létezési tételt felállítottak (a korlátos függvénynormák és direkt módszerek kidolgozása révén), de nem minden esetben elég egyetlen egyszerű feltétel (például a korlátosság) a megoldás létezéséhez. Másképpen: sok átfogó eredmény született a létezés bizonyítására, de a feltételek pontos határai finomak (például a gyenge konvergencia, alsó és felső korlátok kérdése). A probléma jelentősége: alapot adott a modern variációszámítás és funkcionál-analízis módszereinek (mint a direkt módszer, gyenge konvergencia stb.) kidolgozásához.

A huszonegyedik probléma (a Riemann–Hilbert‐probléma) kérte, hogy adjunk meg lineáris, meromorf egyenletrendszert adott szingularitások és monodrómia-csoport (fundamentális köreik körüli viselkedés) mellett. Tudunk-e minden megadott adathoz megfelelő rendszert találni? Josip Plemelj már 1908-ban állította, hogy igen (tétele ki), de végül Andrei Bolibrukh 1994-ben hibát mutatott ki Plemelj monodrómiára vonatkozó általános bizonyításában. Bolibrukh konkrét példája megmutatta, hogy nem minden adhatónak van megfelelő differenciál-egyenlet. Tehát a válasz: nem mindig létezik megoldás – a 21. feladat koncepciója egy kontra-kívülálló kivételt is definiált. Jelentősége óriási a differenciálegyenletek és komplex analízis témakörében (ez a híres Riemann–Hilbert‐probléma modern értelmezése).

A huszonkettedik probléma az uniformizációs tétel általánosításáról szólt: fel lehet-e minden algebrai (vagy analitikus) görbét írni egyszeresen értelmezhető, automorf függvényekkel? Több szó esik a Riemann‐felületekre, azaz arra, hogy zárt görbék esetén megfelelő uniformizációval rendezhetőek (ezt a Poincaré–Koebe‐tétel megoldja az 1 dimenzióra). A kérdés ma úgy értelmezhető, hogy van-e minden egyenlet családhoz való uniformizáció. A válasz: az egyváltozós (Riemann‐felület) esetet megoldották, de magasabb dimenzióban – például analitikus felületek uniformizációja – továbbra is kutatott téma. Ez a probléma mára részben megoldottá vált az egyváltozós esetben, de általános formában tovább él az algebrikus geometria kutatásában.

A huszonharmadik probléma inkább felhívás volt, nem konkrét tétel: Hilbert arra buzdította a matematikusokat, hogy fejlesszék tovább a variációszámítás elméletét. Mivel a felvetés elég általános („Hogyan fejleszthető tovább a variációszámítás?”), nem tudjuk kijelenteni, hogy egy konkrét cél teljesült. A XX. században azonban a variációs problémák rendkívül fejlődtek (a 19. és 20. feladat megoldásaival együtt), és a funkcionál-analízis eszközei kiépültek. Mivel Hilbert nem tűzött ki határozott befejező lépést, a probléma megoldatlansága csak azt jelzi, hogy a variációszámítás területe folyamatosan fejlődik és bővül.

• Hilbert's problems - Szótár.net (en-hu)
• Hilbert's problems - Sztaki (en-hu)
• Hilbert's problems - Merriam–Webster
• Hilbert's problems - Cambridge
• Hilbert's problems - WordNet
• Hilbert's problems - Яндекс (en-ru)
• Hilbert's problems - Google (en-hu)
• Hilbert's problems - Wikidata
• Hilbert's problems - Wikipédia (angol)