Lagrange-féle középértéktétel

• IPA:

Lagrange-féle középértéktétel

1. (matematika) A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.

Ha f folytonos függvény a zárt ${\displaystyle }$ intervallumban és differenciálható a nyílt ${\displaystyle (a,b)}$ intervallumban, akkor van olyan ${\displaystyle a<c<b}$ szám, amire

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

teljesül.

Ez körülbelül azt jelenti: ha húzunk egy vonalat a két végpont között, akkor lesz legalább egy pont a függvényen, aminek a deriváltja párhuzamos ezzel a vonallal.

Egy példán keresztül egyszerűbb megérteni. Autóval utaztunk egyik városból egy másikba és az átlagsebességünk 100 km/óra volt. Ahhoz, hogy pontosan ennyi legyen az átlagsebesség, vagy konstans 100 km/órával kellett mennünk, vagy pedig néha gyorsabban, néha lassabban. Ha lassabban, akkor később gyorsabban is kell mennünk, hogy az átlagsebesség valóban 100 km/óra legyen.

Ez a tétel azt mondja ki, hogy valamikor az út során kell lennie legalább egy pontnak, amikor a kocsi pontosan 100 km/órával ment - az átlagsebességével.

A **Lagrange-féle középértéktétel** a valós analízis egyik alapvető tétele, amely az egyváltozós differenciálható függvényekre vonatkozik. Ez általánosítja a Rolle-tételt, és összekapcsolja a függvény változását a deriváltjával.

Legyen ${\displaystyle f:\to \mathbb {R} }$ egy függvény, amely:

1. folytonos az ${\displaystyle }$ intervallumon,
2. differenciálható az ${\displaystyle (a,b)}$ intervallumon.

Ekkor létezik egy ${\displaystyle c\in (a,b)}$ pont, amelyre:

$${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$$

Ez azt jelenti, hogy a függvény ${\displaystyle f}$ egyik érintőjének meredeksége az ${\displaystyle }$ intervallumon megegyezik a szelővonal meredekségével, amely áthalad az ${\displaystyle (a,f(a))}$ és ${\displaystyle (b,f(b))}$ pontokon.

---

Definiáljunk egy segédfüggvényt, amely kapcsolatot teremt a ${\displaystyle f'(x)}$ és a szelővonal meredeksége között. Az új függvény legyen:

$${\displaystyle g(x)=f(x)-\left.}$$

Ez a függvény a ${\displaystyle f(x)}$ és az ${\displaystyle }$ intervallumon meghatározott szelővonal közötti különbséget adja.

---

A ${\displaystyle g(x)}$ segédfüggvény tulajdonságai:

• ${\displaystyle g(x)}$ folytonos az ${\displaystyle }$-n, mert ${\displaystyle f(x)}$ folytonos.
• ${\displaystyle g(x)}$ differenciálható az ${\displaystyle (a,b)}$-n, mert ${\displaystyle f(x)}$ differenciálható.
• ${\displaystyle g(a)=g(b)=0}$, mert:

$${\displaystyle g(a)=f(a)-\left=0,}$$ és $${\displaystyle g(b)=f(b)-\left=0.}$$

---

A ${\displaystyle g(x)}$ folytonos az ${\displaystyle }$-n, differenciálható az ${\displaystyle (a,b)}$-n, és teljesül, hogy ${\displaystyle g(a)=g(b)=0}$. Ezért a Rolle-tétel alapján létezik egy ${\displaystyle c\in (a,b)}$, amelyre:

$${\displaystyle g'(c)=0.}$$

---

Számítsuk ki ${\displaystyle g'(x)}$-et:

$${\displaystyle g'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$$

A ${\displaystyle g'(c)=0}$ alapján:

$${\displaystyle f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0.}$$

Ebből:

$${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$$

---

A Lagrange-féle középértéktétel szerint létezik legalább egy olyan ${\displaystyle c\in (a,b)}$, ahol a függvény érintője párhuzamos az ${\displaystyle (a,f(a))}$ és ${\displaystyle (b,f(b))}$ pontokat összekötő szelővel. Ez a ${\displaystyle c}$ pont a függvény változási sebességét kapcsolja az intervallum átlagos változási sebességéhez.

• Lagrange-féle középértéktétel - Értelmező szótár (MEK)
• Lagrange-féle középértéktétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Lagrange-féle középértéktétel - Szótár.net (hu-hu)
• Lagrange-féle középértéktétel - DeepL (hu-de)
• Lagrange-féle középértéktétel - Яндекс (hu-ru)
• Lagrange-féle középértéktétel - Google (hu-en)
• Lagrange-féle középértéktétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Lagrange-féle középértéktétel - Wikidata
• Lagrange-féle középértéktétel - Wikipédia (magyar)