Lebesgue-mérték

• IPA:

Lebesgue-mérték

1. (matematika) A mértékelméletben a Lebesgue-mérték (ejtsd: löbeg) egy megszokott módszer, hogy mértéket rendeljünk egy n-dimenziós euklideszi tér részhalmazaihoz.

Ha n = 1, 2 vagy 3, akkor a fogalom rendre megegyezik a hosszúság, terület, térfogat fogalmával. Általánosságban n-dimenziós térfogatnak, illetve n-térfogatnak is hívják vagy csak térfogatnak. A fogalmat a valós analízis számos területén használják, leginkább a Lebesgue-integrál definíciójában. Azokat a halmazokat, amelyekhez ilyen módon szám rendelhető, Lebesgue-mérhetőnek hívjuk, és egy ilyen A halmaz Lebesgue-mértékét λ(A)-val jelöljük. Néha dx-szel is jelölik.

A mérték a francia Henri Lebesgue-től származik 1901-ből. Egy évvel később pedig a Lebesgue-integrál fogalmát írta meg. Mindkét témát 1902-ben a disszertációjában publikálta.^[1]

Adott ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ halmaz, amelyben bármely ${\displaystyle I=}$ (nyitott, zárt vagy akár félig-nyitott) intervallum hosszúsága ${\displaystyle l(I)=b-a}$. Ekkor az E halmaz külső Lebesgue-mértéke, vagyis a ${\displaystyle \lambda ^{*}(E)}$ definíciója:

${\displaystyle \lambda ^{*}(E)={\text{inf}}\left\{\sum _{k=1}^{\infty }l(I_{k}):{\text{ahol }}{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ nyílt intervallumok sorozata, úgy hogy }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}}$.

Ha egy ${\displaystyle E}$ halmazra igaz, hogy bármely ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$-re

${\displaystyle \lambda ^{*}\left(A\right)=\lambda ^{*}\left(A\cap E\right)+\lambda ^{*}\left(A\cap {\overline {E}}\right)}$,

akkor az ${\displaystyle E}$ halmaz Lebesgue-mértéke megegyezik a külső Lebesgue-mértékével, vagyis: ${\displaystyle \lambda (E)=\lambda ^{*}(E)}$. Amelyik halmazra nem teljesül a feltétel, annak nincs Lebesgue-mértéke.

• A valós számok körében bármely zárt intervallum Lebesgue-mérhető, és a mértéke b-a. A nyílt (a, b) intervallum ugyanakkora mértékű, mivel csupán a két végpontban különbözik, melyek mértéke nulla.
• Bármely és Descartes-szorzata Lebesgue-mérhető és a mértéke (b-a)(d-c), vagyis a hozzá tartozó téglalap területe.
• A racionális számok halmazának Lebesgue-mértéke 0, annak ellenére, hogy a halmaz sűrű.
• A Cantor-halmaz egy példa olyan nem megszámlálható halmazra, amelynek Lebesgue-mértéke nulla.

• Lebesgue-mérték - Értelmező szótár (MEK)
• Lebesgue-mérték - Etimológiai szótár (UMIL)
• Lebesgue-mérték - Szótár.net (hu-hu)
• Lebesgue-mérték - DeepL (hu-de)
• Lebesgue-mérték - Яндекс (hu-ru)
• Lebesgue-mérték - Google (hu-en)
• Lebesgue-mérték - Helyesírási szótár (MTA)
• Lebesgue-mérték - Wikidata
• Lebesgue-mérték - Wikipédia (magyar)