Mersenne-prím

• IPA:

Mersenne-prím

1. (matematika, számelmélet) A Mersenne-prím egy különleges típusú prímszám, amely a következő formában írható fel:

$${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$$

ahol n egy pozitív egész szám, és maga a M_n is prímszám. Más szóval, egy Mersenne-prím egy olyan szám, amely eggyel kevesebb, mint egy 2 hatvány (2^n).

Példa Mersenne-prímekre:

- Ha n = 2, akkor ${\textstyle M_{2}=2^{2}-1=3}$, ami prím. - Ha n = 3, akkor ${\textstyle M_{3}=2^{3}-1=7}$, ami szintén prím. - Ha n = 5, akkor ${\textstyle M_{5}=2^{5}-1=31}$, ami prím.

Fontos megjegyezni, hogy n nem minden esetben ad prímértéket. Például, ha n = 11, akkor ${\textstyle M_{11}=2^{11}-1=2047}$, amely nem prím, mert ${\textstyle 2047=23\times 89}$.

Tulajdonságok:

1. Páros tökéletes számok: A Mersenne-prímek szoros kapcsolatban állnak a páros tökéletes számokkal. Egy szám akkor tökéletes, ha egyenlő az osztóinak összegével (önmagát kivéve). Az ókori görög matematikus, Euclid bebizonyította, hogy ha M_n egy Mersenne-prím, akkor a következő képlettel leírható szám egy páros tökéletes szám:

$${\displaystyle P_{n}=2^{n-1}\times (2^{n}-1)}$$

Például, ha n = 5, akkor a Mersenne-prím ${\textstyle M_{5}=31}$, és a hozzá tartozó tökéletes szám:

$${\displaystyle P_{5}=2^{5-1}\times (2^{5}-1)=16\times 31=496}$$

Ez valóban egy tökéletes szám, mivel osztóinak összege (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248) éppen 496.

2. Nehézségi szint és felfedezés: A Mersenne-prímek keresése nehéz feladat, különösen nagy n értékeknél, mivel a nagy Mersenne-prímek nagyon nagy számokká válnak. A Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) egy globális közösségi projekt, amelyet a Mersenne-prímek megtalálására hoztak létre, és amelynek segítségével több nagy Mersenne-prímet is felfedeztek.

3. Az eddig ismert legnagyobb Mersenne-prímek: A jelenlegi rekordok szerint a legnagyobb ismert prímszámok közül sok Mersenne-prím. Például a 2022-ben felfedezett Mersenne-prím, amely n = 82 589 933, egy 24 862 048 számjegyű szám.

Példák ismert Mersenne-prímekre:

Az első néhány Mersenne-prím a következő:

- ${\textstyle M_{2}=3}$ - ${\textstyle M_{3}=7}$ - ${\textstyle M_{5}=31}$ - ${\textstyle M_{7}=127}$ - ${\textstyle M_{13}=8191}$ - ${\textstyle M_{17}=131071}$ - ${\textstyle M_{19}=524287}$

Fontos megjegyezni:

- Csak prím számoknál létezhet Mersenne-prím. Ha n nem prím, akkor ${\textstyle 2^{n}-1}$ biztosan összetett szám lesz. Például, ha n = 4, akkor ${\textstyle M_{4}=2^{4}-1=15}$, ami nem prím, hiszen 15 = 3 x 5.

- Euklidész és Euler tételei: Euklidész bebizonyította, hogy ha n prím és ${\textstyle 2^{n}-1}$ is prím, akkor a ${\textstyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)}$ szám tökéletes. Euler később megmutatta, hogy minden páros tökéletes szám Mersenne-prímmel van kapcsolatban.

Összegzés:

A Mersenne-prímek fontos szerepet játszanak a matematikában, különösen a prímszámok elméletében és a tökéletes számok kutatásában. A számítástudomány és a matematika számos alkalmazásában is megjelennek, például a kriptográfiában és a nagyméretű számok kezelése során.

• Mersenne-prím - Értelmező szótár (MEK)
• Mersenne-prím - Etimológiai szótár (UMIL)
• Mersenne-prím - Szótár.net (hu-hu)
• Mersenne-prím - DeepL (hu-de)
• Mersenne-prím - Яндекс (hu-ru)
• Mersenne-prím - Google (hu-en)
• Mersenne-prím - Helyesírási szótár (MTA)
• Mersenne-prím - Wikidata
• Mersenne-prím - Wikipédia (magyar)