Nash-egyensúly

• IPA:

Nash-egyensúly

1. (matematika, játékelmélet)

A **Nash-egyensúly** a játékelmélet egyik alapvető fogalma, amely John Nash munkásságából származik. Egy Nash-egyensúlyban minden szereplő stratégiája optimális, figyelembe véve a többiek stratégiáját. Más szavakkal:

• Egy játékos sem tudja javítani a saját eredményét azáltal, hogy egyoldalúan megváltoztatja a stratégiáját.

Egy ${\displaystyle n}$-szereplős játékban, ahol a játékosok stratégiái ${\displaystyle S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}}$, és a játékosok kifizetési függvényei ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$: Egy ${\displaystyle (s_{1}^{*},s_{2}^{*},\dots ,s_{n}^{*})}$ stratégiahalmaz Nash-egyensúly, ha minden ${\displaystyle i}$-re teljesül: ${\displaystyle u_{i}(s_{1}^{*},s_{2}^{*},\dots ,s_{i}^{*},\dots ,s_{n}^{*})\geq u_{i}(s_{1}^{*},s_{2}^{*},\dots ,s_{i},\dots ,s_{n}^{*})}$ ahol ${\displaystyle s_{i}}$ a játékos ${\displaystyle i}$-edik alternatív stratégiája.

Két játékos (${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$) a következő mátrix szerint dönti el a stratégiáját:

	${\displaystyle B}$: Együttműködik	${\displaystyle B}$: Megtagad
${\displaystyle A}$: Együttműködik	${\displaystyle (-1,-1)}$	${\displaystyle (-3,0)}$
${\displaystyle A}$: Megtagad	${\displaystyle (0,-3)}$	${\displaystyle (-2,-2)}$

Elemzés:

• Ha ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ is megtagadja, az ${\displaystyle (-2,-2)}$ egy Nash-egyensúly, mert egyikük sem javíthat a kifizetésén egyoldalú stratégiaváltással.

Használjuk a nashpy könyvtárat, amely hatékony eszközt biztosít kétszereplős mátrixjátékok Nash-egyensúlyának számításához.

pip install nashpy

import nashpy as nash
import numpy as np

# Játék mátrixok
A = np.array(, ])  # Játékos A kifizetési mátrixa
B = np.array(, ])  # Játékos B kifizetési mátrixa

# Játék definiálása
game = nash.Game(A, B)

# Nash-egyensúlyok keresése
equilibria = game.support_enumeration()

print("Nash-egyensúlyok:")
for eq in equilibria:
    print(eq)

Nash-egyensúlyok:
(array(), array())

Ez azt jelenti, hogy mindkét játékos 0%-ban együttműködik és 100%-ban megtagadja, ami megfelel az ${\displaystyle (-2,-2)}$ Nash-egyensúlynak.

Egy stratégia tiszta, ha a játékos mindig egy adott stratégiát választ (pl. 100%-ban együttműködik).

Vegyes stratégiában a játékos valószínűségi eloszlás szerint választ a stratégiák között. Például:

• ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle p}$-val együttműködik és ${\displaystyle 1-p}$-val megtagad.

# Példa: 3x3 mátrixjáték
A = np.array(, , ])
B = np.array(, , ])

game = nash.Game(A, B)

# Nash-egyensúly keresése
equilibria = game.support_enumeration()

print("Nash-egyensúlyok:")
for eq in equilibria:
    print(eq)

A kimenet tartalmazza a vegyes stratégiákat, például:

(array(), array())

Ez azt jelenti, hogy az ${\displaystyle A}$ játékos ${\displaystyle 50\%}$-ban az első és második stratégiát, míg ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 50\%}$-ban az első és harmadik stratégiát választja.

1. Gazdaság: Piaci stratégiák optimalizálása.
2. Politika: Konfliktuskezelési stratégiák modellezése.
3. Hálózati forgalom: Adatátvitel optimalizálása.
4. Gépi tanulás: Adversariális modellek, például Generative Adversarial Networks (GANs).

A Nash-egyensúly fontos koncepció az optimalizációban és a stratégiai döntéshozatalban. Pythonban a nashpy könyvtár segítségével könnyedén számíthatunk Nash-egyensúlyokat mátrixjátékokra, legyenek azok tiszta vagy vegyes stratégiájú egyensúlyok. Az alkalmazási lehetőségek széleskörűek, a játékelmélettől a mesterséges intelligenciáig.

• angol: Nash equilibrium (en)
• cseh: Nashova rovnováha (cs)

• Nash-egyensúly - Értelmező szótár (MEK)
• Nash-egyensúly - Etimológiai szótár (UMIL)
• Nash-egyensúly - Szótár.net (hu-hu)
• Nash-egyensúly - DeepL (hu-de)
• Nash-egyensúly - Яндекс (hu-ru)
• Nash-egyensúly - Google (hu-en)
• Nash-egyensúly - Helyesírási szótár (MTA)
• Nash-egyensúly - Wikidata
• Nash-egyensúly - Wikipédia (magyar)