Nyquist–Shannon sampling theorem

Nyquist–Shannon sampling theorem (tsz. Nyquist–Shannon sampling theorems)

1. (informatika) A Nyquist–Shannon mintavételezési tétel az információelmélet és a jelfeldolgozás egyik alapvető tétele, amely meghatározza, hogy egy folytonos idejű jel digitális formában való pontos visszaállításához milyen mintavételi frekvencia szükséges.

Ha egy jel maximális frekvenciája (vagyis spektrumának legmagasabb komponense) f_max, akkor azt a jelet a legkisebb hibával digitálisan rekonstruálni lehet, ha a mintavételezési frekvencia (f_s) legalább kétszerese ennek a maximális frekvenciának:

$${\displaystyle f_{s}\geq 2f_{\text{max}}}$$

Ezt az értéket nevezzük Nyquist-frekvenciának.

Ha a mintavételezési frekvencia kisebb, mint a kétszeres maximális frekvencia, akkor aliasing (átfedés) lép fel, azaz magas frekvenciás komponensek „lecsúsznak” az alsó frekvenciasávba, és torzítják a rekonstruált jelet.

• Folytonos jel: időben folytonos, végtelen számú értékkel rendelkező jel.
• Mintavételezés: a folytonos jel meghatározott időközönkénti értékeinek rögzítése.
• Digitális jel: diszkrét időpontokban és értékekben rögzített jel.
• Rekonstrukció: a folytonos jel visszaállítása a mintákból.

Legyen ${\textstyle x(t)}$ egy időbeli jel, amelynek spektruma nulla minden ${\textstyle |f|>B}$ frekvenciánál (azaz sávkorlátos jel, sávszélesség ${\textstyle B=f_{\max }}$).

A tétel szerint ${\textstyle x(t)}$ pontosan rekonstruálható a mintákból, amelyek egymástól ${\textstyle T={\frac {1}{2B}}}$ időközönként vannak, azaz

$${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)}$$

ahol a sinc függvény:

$${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$$

• Digitális hangrögzítés: CD-minőségű hang esetén ${\textstyle f_{\max }\approx 20\,kHz}$, így a mintavételezési frekvencia legalább 40 kHz kell legyen (CD-n 44,1 kHz).
• Digitális képalkotás: kamerák, orvosi képalkotó eszközök mintavételezési követelményei.
• Kommunikáció: jelek digitalizálása és továbbítása zajmentes módon.

• A jelnek valóban sávkorlátosnak kell lennie.
• A gyakorlatban a jel spektruma nem tökéletesen korlátos, ezért aluláteresztő szűrőt (anti-aliasing filtert) alkalmaznak mintavételezés előtt.
• A tétel ideális, zajmentes környezetre vonatkozik.

Fogalom	Jelentés
Nyquist-frekvencia	A minimális mintavételezési frekvencia: kétszeres a maximális jel frekvenciájának
Mintavételezési időköz	A minták közötti idő: ${\textstyle T={\frac {1}{2f_{\max }}}}$
Aliasing	Mintavételezési hiba, magas frekvenciák torzulása
Sinc függvény	Rekonstrukciós függvény a jel pontos visszaállításához

A Nyquist–Shannon tétel alapvető a digitális jelfeldolgozásban, mivel meghatározza, hogyan lehet analóg jeleket digitálissá alakítani és később eredeti formájukban visszaállítani, minimális információvesztéssel.

• Nyquist–Shannon sampling theorem - Szótár.net (en-hu)
• Nyquist–Shannon sampling theorem - Sztaki (en-hu)
• Nyquist–Shannon sampling theorem - Merriam–Webster
• Nyquist–Shannon sampling theorem - Cambridge
• Nyquist–Shannon sampling theorem - WordNet
• Nyquist–Shannon sampling theorem - Яндекс (en-ru)
• Nyquist–Shannon sampling theorem - Google (en-hu)
• Nyquist–Shannon sampling theorem - Wikidata
• Nyquist–Shannon sampling theorem - Wikipédia (angol)