Pearson-féle korrelációs együttható

• IPA:

Pearson-féle korrelációs együttható

1. (matematika)

A Pearson-féle korrelációs együttható (${\displaystyle r}$) a két változó közötti lineáris kapcsolat szorosságát méri. Az értéke mindig ${\displaystyle -1\leq r\leq 1}$ közé esik.

• ${\displaystyle r=1}$: Tökéletes pozitív lineáris kapcsolat.
• ${\displaystyle r=-1}$: Tökéletes negatív lineáris kapcsolat.
• ${\displaystyle r=0}$: Nincs lineáris kapcsolat a változók között.

${\displaystyle r={\frac {{\text{Cov}}(X,Y)}{\sigma _{X}\cdot \sigma _{Y}}}}$

Ahol:

• ${\displaystyle {\text{Cov}}(X,Y)}$: ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ kovarianciája.
• ${\displaystyle \sigma _{X}}$: ${\displaystyle X}$ szórása (standard deviációja).
• ${\displaystyle \sigma _{Y}}$: ${\displaystyle Y}$ szórása.

1. **Számítsd ki a kovarianciát**:

  ${\displaystyle {\text{Cov}}(X,Y)=M(X\cdot Y)-M(X)\cdot M(Y)}$

2. **Számítsd ki a szórásokat**:

1. • ${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {{\text{Var}}(X)}}}$
   • ${\displaystyle \sigma _{Y}={\sqrt {{\text{Var}}(Y)}}}$
   • A variancia: ${\displaystyle {\text{Var}}(X)=M(X^{2})-^{2}}$.

3. **Helyettesítsd be a képletbe**:

  ${\displaystyle r={\frac {{\text{Cov}}(X,Y)}{{\sqrt {{\text{Var}}(X)}}\cdot {\sqrt {{\text{Var}}(Y)}}}}}$

---

• ${\displaystyle |r|=1}$: Tökéletes lineáris kapcsolat.
• ${\displaystyle 0.7\leq |r|<1}$: Erős lineáris kapcsolat.
• ${\displaystyle 0.4\leq |r|<0.7}$: Közepesen erős lineáris kapcsolat.
• ${\displaystyle 0.2\leq |r|<0.4}$: Gyenge lineáris kapcsolat.
• ${\displaystyle |r|<0.2}$: Gyakorlatilag nincs lineáris kapcsolat.

• ${\displaystyle r>0}$: Pozitív kapcsolat (ahogy ${\displaystyle X}$ nő, ${\displaystyle Y}$ is nő).
• ${\displaystyle r<0}$: Negatív kapcsolat (ahogy ${\displaystyle X}$ nő, ${\displaystyle Y}$ csökken).

---

Tegyük fel, hogy van egy ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ változó:

Adatok

${\displaystyle X}$	${\displaystyle Y}$
1	2
2	4
3	6
4	8
5	10

1. Átlagok:
   • ${\displaystyle M(X)={\frac {1+2+3+4+5}{5}}=3}$.
   • ${\displaystyle M(Y)={\frac {2+4+6+8+10}{5}}=6}$.
2. Kovariancia:
   • ${\displaystyle M(X\cdot Y)={\frac {1\cdot 2+2\cdot 4+3\cdot 6+4\cdot 8+5\cdot 10}{5}}=44}$.
   • ${\displaystyle {\text{Cov}}(X,Y)=M(X\cdot Y)-M(X)\cdot M(Y)=44-3\cdot 6=26}$.
3. Szórások:
   • ${\displaystyle {\text{Var}}(X)=M(X^{2})-^{2}={\frac {1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}}{5}}-3^{2}=2}$.
   • ${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {2}}\approx 1.414}$.
   • ${\displaystyle {\text{Var}}(Y)=M(Y^{2})-^{2}={\frac {2^{2}+4^{2}+6^{2}+8^{2}+10^{2}}{5}}-6^{2}=8}$.
   • ${\displaystyle \sigma _{Y}={\sqrt {8}}\approx 2.828}$.
4. Korrelációs együttható:
   • ${\displaystyle r={\frac {{\text{Cov}}(X,Y)}{\sigma _{X}\cdot \sigma _{Y}}}={\frac {26}{1.414\cdot 2.828}}\approx 1}$

A ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ közötti korreláció ${\displaystyle r=1}$, tehát tökéletes pozitív lineáris kapcsolat van a változók között (ahogy ${\displaystyle X}$ nő, ${\displaystyle Y}$ is arányosan nő).

• A kovariancia a két változó közötti kapcsolat szorosságát méri.
• Számítás képlete:

${\displaystyle {\text{Cov}}(X,Y)=M(X\cdot Y)-M(X)\cdot M(Y)}$

• A kovariancia mértékegységfüggő, így nehéz önmagában értelmezni.

• A szórás a változó értékeinek átlagtól való eltérését méri.
• Szórásnégyzet (variancia) képlete:

${\displaystyle {\text{Var}}(X)=M(X^{2})-^{2}}$

• A szórás (${\displaystyle \sigma }$) a szórásnégyzet gyöke:

${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {{\text{Var}}(X)}}}$

• A korrelációs együttható képlete:

${\displaystyle r={\frac {{\text{Cov}}(X,Y)}{\sigma _{X}\cdot \sigma _{Y}}}}$

• Tulajdonságok:
  • ${\displaystyle -1\leq r\leq 1}$: Az értékek mindig ebben az intervallumban vannak.
  • Pozitív ${\displaystyle r}$: Pozitív kapcsolat (egyik növekedése a másik növekedésével jár).
  • Negatív ${\displaystyle r}$: Negatív kapcsolat (egyik növekedése a másik csökkenésével jár).
  • ${\displaystyle r=0}$: Lineáris kapcsolat nincs kimutathatóan.
• Az előjel megegyezik a kovariancia előjelével.

• Abszolút érték alapján:
  • ${\displaystyle |r|<0.3}$: Gyenge kapcsolat.
  • ${\displaystyle 0.3\leq |r|<0.7}$: Közepes kapcsolat.
  • ${\displaystyle |r|\geq 0.7}$: Erős kapcsolat.
• Konklúzió fontossága:
  • Ha ${\displaystyle r=-0.13}$: Gyenge negatív kapcsolat › A két mennyiség ellentétes irányba mozog.
  • Ha ${\displaystyle r=0.3}$: Gyenge pozitív kapcsolat › A két mennyiség hasonló irányba mozog, de nem túl erősen.
  • Minden esetben szövegesen is ki kell írni a dolgozatba a konklúziót.

• Pearson-féle korrelációs együttható - Értelmező szótár (MEK)
• Pearson-féle korrelációs együttható - Etimológiai szótár (UMIL)
• Pearson-féle korrelációs együttható - Szótár.net (hu-hu)
• Pearson-féle korrelációs együttható - DeepL (hu-de)
• Pearson-féle korrelációs együttható - Яндекс (hu-ru)
• Pearson-féle korrelációs együttható - Google (hu-en)
• Pearson-féle korrelációs együttható - Helyesírási szótár (MTA)
• Pearson-féle korrelációs együttható - Wikidata
• Pearson-féle korrelációs együttható - Wikipédia (magyar)