Ptolemaiosz-tétel

• IPA:

Ptolemaiosz-tétel

1. (matematika) Egy húrnégyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával.

A **Ptolemaiosz-tétel** az euklideszi geometria egyik híres tétele, amely a körbe írt négyszögek oldalai és átlói közötti kapcsolatot írja le.

Ha egy négyszög körbe írt (azaz minden csúcsára illeszkedik egy kör), akkor a négyszög oldalaira és átlóira a következő egyenlőség teljesül:

$${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD,}$$

ahol:

• ${\displaystyle AB,BC,CD,AD}$ a négyszög oldalai,
• ${\displaystyle AC,BD}$ a négyszög átlói.

---

Egy négyszög akkor és csak akkor körbe írt, ha minden csúcsára illeszkedik egy kör. Jelöljük a kör középpontját ${\displaystyle O}$-val. A körbe írt négyszög esetén a szemközti szögek összege ${\displaystyle 180^{\circ }}$, vagyis:

$${\displaystyle \angle ABC+\angle CDA=180^{\circ }.}$$

---

Tekintsük a körbe írt négyszög ${\displaystyle ABCD}$-t, és használjuk a koszinusztételt a háromszögekben.

1. A ${\displaystyle \triangle ABC}$-re a koszinusztétel szerint: $${\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(\angle ABC).}$$

2. A ${\displaystyle \triangle ADC}$-re a koszinusztétel szerint: $${\displaystyle AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos(\angle CDA).}$$

---

A körbe írt négyszög tulajdonságából következik, hogy:

$${\displaystyle \cos(\angle ABC)=-\cos(\angle CDA).}$$

Ezért a két koszinusztételből származó egyenletet összeadhatjuk:

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(\angle ABC)=AD^{2}+CD^{2}-2\cdot AD\cdot CD\cdot (-\cos(\angle ABC)).}$$

Ebből:

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+AD^{2}+CD^{2}=2\cdot (AB\cdot BC+AD\cdot CD)\cdot \cos(\angle ABC).}$$

---

Az átlók közötti kapcsolat a fenti egyenlet alapján kifejezhető. A körbe írt négyszög definíciója szerint a szemközti szögek kapcsolata biztosítja, hogy az egyenlőség fennmarad, így a végső forma:

$${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$$

Ez bizonyítja a Ptolemaiosz-tételt.

---

1. Ptolemaiosz-egyenlőtlenség: Ha egy négyszög nem körbe írt, akkor a következő egyenlőtlenség teljesül:

$${\displaystyle AC\cdot BD\geq AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$$

1. Speciális eset: Ha a négyszög téglalap, akkor ${\displaystyle AC}$ és ${\displaystyle BD}$ azonosak (az átlók egyenlők), így a tétel egyszerűen Pitagorasz-tételhez vezet.

---

A **Ptolemaiosz-tétel** a körbe írt négyszögek fontos geometriai tulajdonsága, amely az oldalak és átlók közötti szoros kapcsolatot fejezi ki. Ez a tétel számos alkalmazást talál az euklideszi geometria és a trigonometria különböző területein.

• angol: Ptolemy's theorem (en)

• Ptolemaiosz-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Ptolemaiosz-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Ptolemaiosz-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Ptolemaiosz-tétel - DeepL (hu-de)
• Ptolemaiosz-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Ptolemaiosz-tétel - Google (hu-en)
• Ptolemaiosz-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Ptolemaiosz-tétel - Wikidata
• Ptolemaiosz-tétel - Wikipédia (magyar)