Pythagorean theorem

Pythagorean theorem (tsz. Pythagorean theorems)

1. (informatika) Pitagorasz-tétel

A Pithagorasz-tétel (angolul Pythagorean Theorem) a geometria egyik legismertebb és legfontosabb állítása. Ez a tétel az derékszögű háromszögek oldalai közötti kapcsolatot írja le, és a matematika, fizika, mérnöki tudományok, sőt a számítástechnika alapvető eszköze.

Minden derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege megegyezik az átfogó négyzetével.

Matematikai formában:

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$$

ahol:

• ${\textstyle a}$ és ${\textstyle b}$: a derékszögű háromszög befogói,
• ${\textstyle c}$: az átfogó, azaz a derékszöggel szemközti oldal.

A tétel nevét Püthagorasz (i. e. 570–495) görög filozófus-matematikusról kapta, bár a tétel jóval régebbi: ismerte az ókori Babilónia és India is. A legrégebbi ismert feljegyzés a híres Plimpton 322 agyagtáblán található, amely i. e. 1800 körüli babiloni eredetű.

Püthagorasz érdeme a tétel bizonyítása, nem pedig a felfedezése. A görög matematika rendszerezettsége révén azonban az ő nevéhez kötődött a klasszikus formában.

A tétel azt mondja ki, hogy ha rajzolunk négyzeteket a háromszög oldalaira, akkor a két rövidebb oldalra rajzolt négyzetek területének összege pontosan megegyezik a leghosszabb oldal (az átfogó) négyzetének területével.

Ez az egyszerű, mégis mély kapcsolat lehetővé teszi távolságok, magasságok, szögek kiszámítását síkban és térben.

• Távolság kiszámítása síkban: két pont ${\textstyle (x_{1},y_{1})}$ és ${\textstyle (x_{2},y_{2})}$ közötti távolság:

$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$$

Ez a Pithagorasz-tétel egy alkalmazása a koordinátageometriában.

• Térbeli távolságok:

$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}}$$

• Mérnöki és fizikai számítások – pl. vektorhossz, gyorsulás eredője.
• Építészet és földmérés – derékszögű háromszögek segítségével lehet síkot, sarkot, merőlegest szerkeszteni.
• Trigonometriában – a szinusz, koszinusz fogalmak kapcsolódnak a tételhez.
• Számítástechnika – képfeldolgozás, grafika, játékfejlesztés során a képernyőn lévő pontok közötti távolságok számítására.

Tegyük fel, egy háromszög két befogója: ${\textstyle a=3}$, ${\textstyle b=4}$. Mekkora az átfogó?

$${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5}$$

Ez a híres 3–4–5 háromszög, amely egész számokat tartalmaz → ilyen háromszöget pitagoraszi számhármasnak hívunk.

Ezek olyan egész számhármasok ${\textstyle (a,b,c)}$, amelyek kielégítik a Pithagorasz-tételt: ${\textstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. Példák:

• (3, 4, 5)
• (5, 12, 13)
• (7, 24, 25)
• (8, 15, 17)
• (9, 40, 41)

Ezek hasznosak mérésekhez, ahol precízen kell derékszöget alkotni eszközök nélkül.

A Pithagorasz-tételnek több száz bizonyítása létezik, ami ritka a matematikában. Ezek különböző módszerekre épülnek:

Rajzoljunk egy nagy négyzetet, amelynek oldalait kétféleképp tölthetjük ki:

• négy derékszögű háromszöggel és középen egy kis négyzettel (á: ${\textstyle c}$),
• vagy két kisebb négyzettel (á: ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$) és a háromszögekkel.

Azonos területből kiindulva levezethető az ${\textstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ formula.

Pl. az alábbi formulák alkalmazásával és összehasonlítással.

Euklidész Elemek című művében a V. könyvben egy klasszikus, szerkesztéses geometriai bizonyítást ad.

James A. Garfield (a 20. amerikai elnök) egy elegáns, trapéz alapú bizonyítást adott, amelyet a mai napig tanítanak.

Ha egy testet három egymásra merőleges oldal mentén mozgunk (pl. doboz sarkaiból kiindulva), akkor a testátló hossza:

$${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$$

Ha a háromszög nem derékszögű, akkor a koszinusztétel alkalmazható:

$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C)}$$

A Pithagorasz-tétel speciális esete ez, ha ${\textstyle C=90^{\circ }}$, mert ${\textstyle \cos(90^{\circ })=0}$.

A Pithagorasz-tétel a matematika emblematikus tétele. A világon szinte minden iskolában tanítják. Emellett:

• Szimbóluma a logikus gondolkodásnak.
• Számos művészeti és irodalmi utalásban szerepel.
• A matematika népszerűsítésének egyik eszköze.

A Pithagorasz-tétel egyszerű, de mély összefüggés a geometria világában. Egy derékszögű háromszög oldalaira vonatkozik, de hatása kiterjed:

• az algebrai gondolkodásra,
• a trigonometria alapjaira,
• a mérnöki, tudományos számításokra,
• a digitális világra, ahol távolságokat, eltolásokat, szögeket kell mérni.

Sokféle módon bizonyítható, sokféle alkalmazása van, és inspirálta a matematika fejlődését több ezer éven át. Egyszerre kézzelfogható és elvont, iskolai tananyag és kutatási alap.

A Pithagorasz-tétel kimondja, hogy minden derékszögű háromszögben az átfogó négyzetének értéke egyenlő a két befogó négyzetösszegével:

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$$

Ez a geometria egyik legismertebb tétele, sokféle módon bizonyítható, és számos területen alkalmazható: távolságszámítás, trigonometria, fizika, informatika és mérnöki feladatok esetén is.

• Pythagorean theorem - Szótár.net (en-hu)
• Pythagorean theorem - Sztaki (en-hu)
• Pythagorean theorem - Merriam–Webster
• Pythagorean theorem - Cambridge
• Pythagorean theorem - WordNet
• Pythagorean theorem - Яндекс (en-ru)
• Pythagorean theorem - Google (en-hu)
• Pythagorean theorem - Wikidata
• Pythagorean theorem - Wikipédia (angol)