Riemann-integrál

• IPA:

Riemann-integrál

1. (matematika)

Riemann definíciója

Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.

Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen ${\displaystyle F_{n}=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ halmazzal, ahol ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b}$. Ezt az F_n halmazt az intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: ${\displaystyle d(F_{n})}$

Mindegyik részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξ_i elemet.

Állítsunk f(ξ_i) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:

${\displaystyle \sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}$

Ezt a ${\displaystyle \Delta x_{i}=(x_{i}-x_{i-1})}$ jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:

${\displaystyle \sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}=f(\xi _{1})\Delta x_{1}+f(\xi _{2})\Delta x_{2}+\,\cdots \,+f(\xi _{n})\Delta x_{n}}$

A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: ${\displaystyle \{F_{n}\}=F_{1},F_{2},F_{3},F_{4},\ldots }$. Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a ${\displaystyle \{d(F_{n})\}=d(F_{1}),d(F_{2}),\ldots }$ sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$ vagy röviden: ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f}$.

${\displaystyle d(F_{n})\to 0\Rightarrow \sigma (F_{n})\to \int \limits _{a}^{b}f}$

Összefoglalva:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})}$

ahol

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b}$

${\displaystyle x_{i-1}\leq \xi _{i}\leq x_{i}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max \left\{x_{i}-x_{i-1}|1\leq i\leq n\right\}=0}$

Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.

• angol: Riemann integral (en)
• francia: intégrale de Riemann (fr)
• német: Riemann-Integral (de)
• orosz: интеграл Римана (ru) (integral Rimana)

• Riemann-integrál - Értelmező szótár (MEK)
• Riemann-integrál - Etimológiai szótár (UMIL)
• Riemann-integrál - Szótár.net (hu-hu)
• Riemann-integrál - DeepL (hu-de)
• Riemann-integrál - Яндекс (hu-ru)
• Riemann-integrál - Google (hu-en)
• Riemann-integrál - Helyesírási szótár (MTA)
• Riemann-integrál - Wikidata
• Riemann-integrál - Wikipédia (magyar)