Rolle-tétel

• IPA:

Rolle-tétel

1. (matematika)

A **Rolle-tétel** a differenciálhányadosokra és a differenciálható függvények zérushelyeire vonatkozó eredmény az analízisben. A tétel kimondja, hogy ha egy differenciálható függvény egy zárt intervallum két végpontjában azonos értéket vesz fel, akkor a függvénynek van legalább egy olyan pontja az intervallum belsejében, ahol a deriváltja nulla.

Legyen ${\displaystyle f:\to \mathbb {R} }$ egy függvény, amely teljesíti a következő feltételeket: 1. ${\displaystyle f}$ folytonos az ${\displaystyle }$ zárt intervallumon, 2. ${\displaystyle f}$ differenciálható az ${\displaystyle (a,b)}$ nyílt intervallumon, 3. ${\displaystyle f(a)=f(b)}$.

Ekkor létezik legalább egy ${\displaystyle c\in (a,b)}$, amelyre: ${\displaystyle f'(c)=0.}$

A Rolle-tétel azt írja le, hogy ha egy függvény folytonos és differenciálható, és az intervallum két végpontjában ugyanazt az értéket veszi fel, akkor az intervallumon belül legalább egy helyen vízszintes érintője van (azaz a derivált értéke zérus).

Geometriailag ez azt jelenti, hogy a görbe az egyik végpontból indulva a másik végponthoz visszatér ugyanabba a magasságba, ezért valahol vízszintesen „meg kell állnia”.

1. Vegyük az ${\displaystyle f(x)=x^{2}-1}$ függvényt az ${\displaystyle }$ intervallumon:

  * ${\displaystyle f(-1)=f(1)=0}$, tehát ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ teljesül.
  * ${\displaystyle f}$ folytonos az ${\displaystyle }$-on és differenciálható az ${\displaystyle (-1,1)}$-on.
  * A derivált: ${\displaystyle f'(x)=2x}$.
  * A Rolle-tétel szerint létezik ${\displaystyle c\in (-1,1)}$, ahol ${\displaystyle f'(c)=0}$. Ez a pont ${\displaystyle c=0}$.

2. Az ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ függvény a ${\displaystyle }$ intervallumon:

  * ${\displaystyle f(0)=f(\pi )=0}$.
  * ${\displaystyle f}$ folytonos és differenciálható a megadott intervallumon.
  * A derivált: ${\displaystyle f'(x)=\cos(x)}$.
  * A Rolle-tétel szerint létezik ${\displaystyle c\in (0,\pi )}$, ahol ${\displaystyle \cos(c)=0}$, tehát ${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$.

A Rolle-tétel számos területen alkalmazható az analízisben:

• **Következtetés zérushelyekre:** Ha egy függvénynek azonos értékei vannak az intervallum végpontjain, akkor van köztes pont, ahol a derivált nulla.
• **Mean Value Theorem (Lagrange-féle középértéktétel):** A Rolle-tétel segítségével vezethető le.
• **Integrálási hibák elemzése:** A függvények viselkedésének vizsgálatakor alkalmazható az integrálási hibák meghatározására.

• A tétel feltételei szükségesek: Ha például a függvény nem folytonos vagy nem differenciálható, a tétel nem alkalmazható.
• A Rolle-tétel általánosítása a **Lagrange-féle középértéktétel**, amely azt írja le, hogy ha a függvény különböző értékeket vesz fel az intervallum végpontjaiban, akkor van egy olyan belső pont, ahol a derivált megegyezik az érintő meredekségével.
• A tétel alapvető szerepet játszik a differenciálszámítás és a függvények viselkedésének elemzésében.

• Rolle-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Rolle-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Rolle-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Rolle-tétel - DeepL (hu-de)
• Rolle-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Rolle-tétel - Google (hu-en)
• Rolle-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Rolle-tétel - Wikidata
• Rolle-tétel - Wikipédia (magyar)