Stokes-tétel

• IPA:

Stokes-tétel

1. (matematika)

A **Stokes-tétel** a vektoranalízis egyik alapvető tétele, amely a görbementi integrálokat és a felületi integrálokat köti össze. A tétel általánosítja a Green-tételt háromdimenziós térbeli esetekre.

ahol:

• ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$: a vektormező forgása (rotációja),
• ${\displaystyle \mathbf {n} }$: az ${\displaystyle S}$ felület egységnyi normálvektora,
• ${\displaystyle dS}$: a felület differenciáleleme.

A Stokes-tétel azt mondja ki, hogy a felület határán vett görbementi integrál (${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$) egyenlő a felületen a vektormező forgására vett felületi integrállal (${\displaystyle \iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS}$).

- Az ${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$ a ${\displaystyle C}$ görbe mentén vett vonalintegrált jelenti, amely kiszámítja a ${\displaystyle \mathbf {F} }$ vektormező ${\displaystyle C}$ menti "áramlását".

- Az ${\displaystyle \iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS}$ a vektormező forgásának a felületre vett fluxusát méri.

- A vektormező forgását adja meg, amely a lokális örvényességet írja le.

- Az ${\displaystyle S}$ felület orientációját adja meg.

- A tétel bizonyítása során a felületet kis elemi darabokra bontjuk, és alkalmazzuk a Green-tételt ezekre a darabokra.

- Paraméterezzük a ${\displaystyle S}$ felületet egy ${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)}$ függvénnyel: $${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),}$$ ahol ${\displaystyle (u,v)}$ a felület paraméterei, és ${\displaystyle \mathbf {r} }$ differenciálható.

- Az ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$-ra vett felületi integrál a paraméterezéssel: $${\displaystyle \iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS=\iint _{D}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot (\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})\,dudv,}$$ ahol ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}}$ és ${\displaystyle \mathbf {r} _{v}}$ a paraméterek szerinti parciális deriváltak.

- A felület minden elemi darabján a Green-tételt alkalmazva megmutatható, hogy a görbementi integrál a felület határára vett felületi integrálokkal egyezik meg: $${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS.}$$

- Az elemi felületrészekre végzett integrálok összege pontosan megegyezik a teljes felület integráljával, így a Stokes-tétel igaz.

- Legyen ${\displaystyle C}$ az ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ körvonal az ${\displaystyle xy}$-síkon, és ${\displaystyle \mathbf {F} =(-y,x,0)}$. - Számítsuk ki:

 * ${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$ (görbementi integrál),
 * ${\displaystyle \iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS}$ (felületi integrál).

- A számítások után mindkét érték ${\displaystyle 2\pi }$-vel egyenlő.

- Legyen ${\displaystyle S}$ egy síklap az ${\displaystyle xy}$-síkon, amelyet az ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ kör határol. - Ha ${\displaystyle \mathbf {F} =(y,-x,z)}$, akkor a görbementi integrál kiszámítása után: $${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS.}$$

1. **Green-tétel általánosítása**:

  - A Stokes-tétel a Green-tétel háromdimenziós általánosítása.

1. **Maxwell-egyenletek**:

  - A Maxwell-féle elektromágneses tér egyenletei a Stokes-tétel segítségével vezethetők le integrális alakban.

1. **Fizikai alkalmazások**:

  - Hidrodinamikában és aerodinamikában a forgás és az áramlások vizsgálatára használják.

A **Stokes-tétel** egyesíti a görbementi és a felületi integrálokat, mély kapcsolatot teremtve a helyi és globális jelenségek között. Ez az alapvető matematikai tétel számos alkalmazással rendelkezik a fizikában és a mérnöki tudományokban, különösen a vektormezők analízisében.

• angol: Stokes' theorem (en)

• Stokes-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Stokes-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Stokes-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Stokes-tétel - DeepL (hu-de)
• Stokes-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Stokes-tétel - Google (hu-en)
• Stokes-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Stokes-tétel - Wikidata
• Stokes-tétel - Wikipédia (magyar)