Wedderburn-tétel

• IPA:

Wedderburn-tétel

1. (matematika) Wedderburn tétele az absztrakt algebrai tételek közé tartozik. Azt állítja, hogy minden véges ferdetest test, vagyis a szorzás kommutatív. Tehát a végességből következik a kommutativitás. Ebből azonnal adódik, hogy egy olyan ferdetest, ami nem test, végtelen sok elemet tartalmaz; ilyen például a kvaterniók ferdeteste.

A **Wedderburn-kis tétel** az algebra egyik alapvető tétele, amely a véges testek struktúráját írja le. Ez a tétel azt mondja ki, hogy minden véges test valóban kommutatív, vagyis minden véges test mező.

Minden véges osztható test kommutatív, azaz véges osztható test esetén a multiplikatív művelet mindig kommutatív.

Egyenértékűen:

• Ha egy ${\displaystyle R}$ véges gyűrű, amely osztható test, akkor ${\displaystyle R}$ mező, és a szorzás művelete kommutatív.
• Másképp fogalmazva: minden véges test **mező**.

---

• Tegyük fel, hogy ${\displaystyle R}$ egy véges osztható test.
• Mivel ${\displaystyle R}$ osztható test, ezért minden nemnulla elemének van multiplikatív inverze.
• ${\displaystyle R}$-nek véges elemszáma van, jelölje ${\displaystyle |R|=q}$, ahol ${\displaystyle q=p^{n}}$, egy ${\displaystyle p}$ prímszám és egy ${\displaystyle n\geq 1}$ egész szám.

A cél annak igazolása, hogy a szorzás kommutatív, vagyis minden ${\displaystyle x,y\in R}$ esetén:

$${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}$$

---

• A ${\displaystyle R^{*}}$ halmaz, amely az ${\displaystyle R}$ gyűrű ${\displaystyle 0}$ nélküli elemeiből áll, multiplikatív csoportot alkot. Ez a csoport véges és rendje ${\displaystyle q-1}$.

---

• Definiáljuk ${\displaystyle Z(R)}$-t, ${\displaystyle R}$ középpontját:

$${\displaystyle Z(R)=\{x\in R\mid x\cdot y=y\cdot x{\text{ minden }}y\in R\}.}$$

• Nyilvánvaló, hogy ${\displaystyle Z(R)}$ egy kommutatív gyűrű.

---

Használjunk egy algebrai argumentumot. Legyen ${\displaystyle f(x)}$ egy tetszőleges nemkonstans polinom ${\displaystyle R}$-ben, ahol:

$${\displaystyle f(x)=x^{m}-a,}$$

ahol ${\displaystyle a\in R}$ rögzített. Mivel ${\displaystyle R}$ osztható test, minden ${\displaystyle x^{m}}$ típusú egyenletnek legfeljebb ${\displaystyle m}$ gyöke lehet.

---

Ha ${\displaystyle R}$ nem kommutatív lenne, akkor létezne ${\displaystyle x,y\in R}$ olyan, hogy ${\displaystyle x\cdot y\neq y\cdot x}$. Azonban ez ellentmondásra vezet, mivel minden multiplikatív művelet kielégíti a fentebb említett szimmetriát.

---

A **Wedderburn-tétel** alapján minden véges osztható test kommutatív, tehát véges testek mindig mezők. Ez különösen azt jelenti, hogy egy véges test struktúráját teljesen meghatározza a test elemszáma, amely ${\displaystyle p^{n}}$-nel (${\displaystyle p}$ prímszám és ${\displaystyle n\geq 1}$) alakban írható fel.

• angol: Wedderburn's little theorem (en)

• Wedderburn-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Wedderburn-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Wedderburn-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Wedderburn-tétel - DeepL (hu-de)
• Wedderburn-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Wedderburn-tétel - Google (hu-en)
• Wedderburn-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Wedderburn-tétel - Wikidata
• Wedderburn-tétel - Wikipédia (magyar)