Zermelo-Fraenkel halmazelmélet

• IPA:

Zermelo-Fraenkel halmazelmélet

1. (matematika) A Zermelo–Fraenkel halmazelmélet (röviden ZF) egy axiomatikus halmazelméleti rendszer, amely a halmazelmélet alapvető paradoxonjait – például a Russell-paradoxont – kívánja kiküszöbölni. A ZF axiomarendszert később kiegészítették a kiválasztási axiómával (AC), így a teljes rendszer neve Zermelo–Fraenkel halmazelmélet kiválasztási axiómával, azaz ZFC.

A ZF axiómái pontosan meghatározzák, hogy milyen módon lehet halmazokat létrehozni, ezzel kizárva az olyan „problémás” halmazokat, amelyek ellentmondásokhoz vezetnének, mint például a Russell-paradoxon.

1. Extenzionalitás axióma: Két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. $${\displaystyle A,B:(A=Bx(xAxB))}$$
2. Párosítás axióma: Ha ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ halmazok, akkor létezik egy olyan halmaz, amely tartalmazza ${\textstyle A}$-t és ${\textstyle B}$-t. $${\displaystyle A,BCx(xCx=Ax=B)}$$
3. Unió axióma: Bármely halmaz összes részhalmazaiból létrehozhatunk egy olyan halmazt, amely ezek egyesítését tartalmazza. $${\displaystyle ABx(xBC(xCCA))}$$
4. Részhalmaz axióma (komprehenzió): Egy halmaz elemeiből kiválaszthatunk egy olyan részhalmazt, amely egy adott tulajdonságot teljesít. $${\displaystyle ABx(xBxAP(x))}$$ (ahol ${\textstyle P(x)}$ valamilyen tulajdonság)
5. Végtelen halmaz axióma: Létezik egy végtelen halmaz.
6. Alkalmazási axióma: Egy halmaz elemeiből létrehozhatunk egy másik halmazt valamilyen függvény segítségével.
7. Alaphalmaz axióma: Minden halmaznak van egy „alaphalmaza”, amely lehetővé teszi az elemek rendezését és kizárja a végtelen visszacsatolást (vagyis nem lehet olyan halmaz, amely önmagát tartalmazza).
8. Kiválasztási axióma (AC): Minden nem üres halmazrendszerhez létezik egy olyan függvény, amely minden halmazból egy elemet választ ki. Ez nem része a ZF halmazelméletnek, de a ZFC-ben benne van.

A ZF halmazelmélet az egyik legelterjedtebb és legelfogadottabb axiomatikus rendszer, amely biztosítja, hogy a halmazelméletben ellentmondásmentesen tudjunk dolgozni. Ez az elmélet az alapja számos matematikai területnek, és segít elkerülni a paradoxonokat, amelyek a naiv halmazelméletben felmerültek.

Ha részletesebben érdekel valamelyik axióma vagy annak következményei, szívesen kifejtem!

• Zermelo-Fraenkel halmazelmélet - Értelmező szótár (MEK)
• Zermelo-Fraenkel halmazelmélet - Etimológiai szótár (UMIL)
• Zermelo-Fraenkel halmazelmélet - Szótár.net (hu-hu)
• Zermelo-Fraenkel halmazelmélet - DeepL (hu-de)
• Zermelo-Fraenkel halmazelmélet - Яндекс (hu-ru)
• Zermelo-Fraenkel halmazelmélet - Google (hu-en)
• Zermelo-Fraenkel halmazelmélet - Helyesírási szótár (MTA)
• Zermelo-Fraenkel halmazelmélet - Wikidata
• Zermelo-Fraenkel halmazelmélet - Wikipédia (magyar)