algebraic structure (tsz. algebraic structures)

1. (informatika) algebrai struktúra

Az algebrai struktúrák a modern matematika egyik központi fogalmi eszközei. Az algebrai struktúrák fogalma lehetőséget ad arra, hogy különféle matematikai objektumokat egységes elméleti keretben vizsgáljunk. Lényegében egy algebrai struktúra egy halmazból és rajta értelmezett műveletekből áll, melyek bizonyos axiómákat kielégítenek. Az algebrai struktúrák tanulmányozása az absztrakt algebra, illetve az algebra ágainak fontos részterülete.

Az alábbiakban áttekintjük a legfontosabb algebrai struktúrákat, azok tulajdonságait és alkalmazásait.

Egy halmaz (set) olyan elemek összessége, amelyeket valamilyen közös tulajdonság jellemez. Ha van egy halmazunk ${\textstyle S}$, akkor egy művelet ezen a halmazon egy olyan függvény, amely ${\textstyle S\times S\to S}$, vagy általában ${\textstyle S^{n}\to S}$ leképezés.

Pl. az egész számokon értelmezett összeadás egy bináris művelet: ${\textstyle +:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$.

Az algebrai struktúrák különböző típusait a műveletekre vonatkozó axiómák (pl. asszociativitás, kommutativitás, identitáselem létezése, inverz elemek létezése) határozzák meg.

• Egy halmaz ${\textstyle S}$ egy bináris művelettel ${\textstyle *}$, ami asszociatív:

  $${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c),\quad \forall a,b,c\in S}$$

• Példa: a természetes számok összeadása ${\textstyle (\mathbb {N} ,+)}$.

• Félcsoport, amely rendelkezik identitáselemmel ${\textstyle e}$, amelyre:

  $${\displaystyle e*a=a*e=a,\quad \forall a\in S}$$

• Példa: ${\textstyle (\mathbb {N} ,+,0)}$, ahol 0 az identitáselem.

• Monoid, ahol minden elemhez létezik inverz elem ${\textstyle a^{-1}}$:

  $${\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}$$

• Példa: ${\textstyle (\mathbb {Z} ,+)}$, ahol az inverz az ellentett.

• Csoport, ahol a művelet kommutatív is:

  $${\displaystyle a*b=b*a}$$

• Példa: ${\textstyle (\mathbb {R} ,+)}$, a valós számok összeadásra nézve.

• Egy halmazon két művelet van:

  • ${\textstyle +}$, amely egy abél-csoportot alkot
  • ${\textstyle \cdot }$, amely félcsoportot alkot

• Szétoszthatóság (disztributivitás) teljesül:

  $${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$$

• Példa: ${\textstyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$, az egész számok gyűrűje.

• A gyűrű szorzásra nézve rendelkezik egységelemmel ${\textstyle 1}$, amire:

  $${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$$

• A szorzás is kommutatív:

  $${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$$

• Pl.: ${\textstyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$, ${\textstyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$.

• Kommutatív egységelemes gyűrű, ahol minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze:

  $${\displaystyle a\cdot a^{-1}=1}$$

• Példa: ${\textstyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$.

• Az R gyűrű és egy halmaz M, ahol az R elemei “skálázzák” az M elemeit (mint vektorok esetén).

• Olyan vektortér, amely gyűrű is egyben.

• Egy halmazon van két művelet: legkisebb közös felső korlát (join), legnagyobb közös alsó korlát (meet).
• Példa: részhalmazok halmaza unióval és metszettel.

• Speciális rács, amely modellezi a logikai műveleteket.

• Egy gráf formálisan ${\textstyle G=(V,E)}$, ahol V a csúcsok halmaza, E az élek halmaza.

• Csoportelmélet: elliptikus görbék csoportjain alapszik számos modern titkosítási algoritmus.

• Booel-algebrák: digitális áramkörök és logikai tervezés.
• Monoidok: sztringfeldolgozás (pl. reguláris kifejezések).

• Lie-csoportok: szimmetriák leírása a kvantummechanikában.

• Algebrák: transzformációk csoportjai.

• Sok algebrai struktúra hierarchiát alkot:

  $${\displaystyle {\text{csoport}}\subset {\text{monoid}}\subset {\text{félcsoport}}}$$

  $${\displaystyle {\text{test}}\subset {\text{kommutatív egységelemes gyűrű}}\subset {\text{gyűrű}}}$$

Az algebrai struktúrák lényege az, hogy:

• lehetővé teszik a szerkezetek általános vizsgálatát,
• bizonyításokat absztrakt szinten lehet megfogalmazni,
• különböző területeken megjelenő struktúrák közötti hasonlóságok felismerését segítik.

Az algebrai struktúrák világa rendkívül gazdag. Az alapvető struktúrákon kívül léteznek nagyon kifinomult, speciális struktúrák is:

• Lie-algebrák
• Hopf-algebrák
• Kvantumcsoportok
• Operátor-algebrák
• Topológiai csoportok

Minden tudományterületben, ahol valamilyen művelet vagy kompozíció értelmezett, az algebrai struktúrák elmélete fontos eszközt ad a kezünkbe.

• algebraic structure - Szótár.net (en-hu)
• algebraic structure - Sztaki (en-hu)
• algebraic structure - Merriam–Webster
• algebraic structure - Cambridge
• algebraic structure - WordNet
• algebraic structure - Яндекс (en-ru)
• algebraic structure - Google (en-hu)
• algebraic structure - Wikidata
• algebraic structure - Wikipédia (angol)