aranymetszés

A Wikipédiának van ilyen témájú szócikke:

aranymetszés

• IPA:

aranymetszés

1. (matematika) Olyan arányosság, ami a természetben és művészetben is gyakran megjelenik, természetes egyensúlyt teremtve a szimmetria és az aszimmetria között.

A definícióból kiszámolható, hogy a nagyobb rész (a) hányszorosa a kisebb résznek (b), tehát megkapható az a ${\displaystyle \Phi }$ szám, amelyre ${\displaystyle a=\Phi \cdot b}$, másképpen: ${\displaystyle \Phi ={\frac {a}{b}}}$ teljesül.

A definíció szerint:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}}$

A jobb oldali tört számlálóját és nevezőjét is ${\displaystyle b}$-vel elosztva:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {{\frac {a}{b}}+1}{\frac {a}{b}}}}$

Ebbe ${\displaystyle \Phi ={\frac {a}{b}}}$-t behelyettesítve kapjuk, hogy

${\displaystyle \Phi ={\frac {\Phi +1}{\Phi }}}$

${\displaystyle \Phi }$-vel szorozva, majd 0-ra rendezve:

${\displaystyle \Phi ^{2}-\Phi -1=0\,}$  ; vagyis ${\displaystyle \Phi ^{2}\ }$ eggyel nagyobb, ${\displaystyle 1/\Phi }$ pedig eggyel kisebb, mint  ${\displaystyle \Phi }$.

Ezt a másodfokú egyenletet megoldhatjuk a megoldóképlettel:

${\displaystyle \Phi ={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)}}}{2\cdot 1}}={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}}$

Az egyenlet negatív gyöke (≈ - 0,618) a feladat jellege miatt nem megoldása a problémának, így:

${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,\ 618\ 033\ 988\ 749\ 894\ 848\ 20...}$

${\displaystyle \Phi }$ irracionális szám, tehát nem írható fel két egész szám hányadosaként, ami a ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ irracionalitásából is látható. Algebrai szám, sőt, algebrai egész, hiszen megoldása a fenti polinomegyenletnek.

• aranyarány

arany +‎ metszés, a német Goldschnitt szó tükörfordítása