complex number

complex number (tsz. complex numbers)

1. (informatika) komplex szám

A komplex szám a matematika egyik kulcsfogalma, amely lehetővé teszi a négyzetgyök és más algebrai műveletek kiterjesztését azokon a számokon túl, amelyeket valós számokként ismerünk. Komplex számok nélkül elképzelhetetlen lenne a modern fizika, elektromosságtan, mérnöki számítások, valamint a számítástechnika és a digitális jelfeldolgozás több területe is.

A komplex szám formája:

$${\displaystyle z=a+bi}$$

ahol:

• a a valós rész (Re(z))

• b az imaginárius rész (Im(z))

• i az imaginárius egység, ahol:

  $${\displaystyle i^{2}=-1}$$

Példa:

$${\displaystyle z=3+4i}$$

Ebben a = 3, b = 4.

$${\displaystyle (3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2i+4i)=4+6i}$$

$${\displaystyle (5+3i)-(2+i)=(5-2)+(3i-i)=3+2i}$$

$${\displaystyle (2+3i)(1+4i)=2+8i+3i+12i^{2}=2+11i+12(-1)=-10+11i}$$

A nevezőt konjugáltal szorozzuk:

$${\displaystyle {\frac {3+2i}{1-i}}={\frac {(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}}={\frac {3+3i+2i+2i^{2}}{1^{2}-i^{2}}}={\frac {1+5i}{2}}}$$

A z = a + bi konjugáltja:

$${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$$

$${\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$$

Példa:

$${\displaystyle |3+4i|={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}$$

Egy komplex számot felrajzolhatunk a Gauss-féle komplex síkon:

• az x tengely a valós rész
• az y tengely az imaginárius rész

Így minden komplex szám megfeleltethető egy pontnak vagy vektornak a síkon.

Minden komplex szám felírható polár alakban is:

$${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$$

vagy:

$${\displaystyle z=re^{i\theta }}$$

ahol:

• r = |z| a hossz
• θ = arg(z) az argumentum (irány)

$${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$$

z1 = complex(3, 4)     # 3 + 4i
z2 = complex(1, -2)    # 1 - 2i

print(z1 + z2)         # (4+2j)
print(abs(z1))         # 5.0

#include <complex>
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    complex<double> z1(3, 4);
    complex<double> z2(1, -2);
    auto sum = z1 + z2;
    cout << "Összeg: " << sum << endl;
    cout << "Abszolút érték: " << abs(z1) << endl;
}

A komplex számok a valós számok kibővítése, amelyek lehetővé teszik a √–1 típusú műveletek értelmezését és általánosítását. A komplex számok algebrai, geometriai és analitikus szempontból is gazdag struktúrával rendelkeznek, és a matematika, fizika, mérnöki tudományok, valamint a számítógépes alkalmazások számos területén központi szerepet játszanak.

• complex number - Szótár.net (en-hu)
• complex number - Sztaki (en-hu)
• complex number - Merriam–Webster
• complex number - Cambridge
• complex number - WordNet
• complex number - Яндекс (en-ru)
• complex number - Google (en-hu)
• complex number - Wikidata
• complex number - Wikipédia (angol)