continuum hypothesis (tsz. continuum hypothesises)
A Continuum Hypothesis, azaz kontinuumhipotézis, egy híres állítás a halmazelméletben, amit Georg Cantor vetett fel a 19. század végén. A kérdés a különböző „végtelen nagyságú” halmazok összehasonlítására vonatkozik.
A számosság egy halmaz „méretének” leírására szolgál. Véges halmazoknál ez egyszerű: pl. egy 5 elemű halmaz számossága 5.
Végtelen halmazok esetén Cantor megkülönböztette:
Cantor bizonyította, hogy:
A kontinuumhipotézis így szól:
Nincs olyan halmaz, amelynek számossága nagyobb, mint ℵ₀ (a természetes számok számossága), de kisebb, mint 𝑐 (a valós számok számossága).
Másképpen:
𝑐 = ℵ₁, vagyis a valós számok számossága a következő halmazszámosság közvetlenül ℵ₀ után.
A kontinuumhipotézis első helyen szerepel David Hilbert híres 23 problémájában, amelyet 1900-ban állított fel, és amelyek a 20. század matematikáját meghatározták.
A kérdés központi jelentőségű lett a halmazelmélet és a matematikai logika fejlődésében.
Gödel megmutatta, hogy ha a ZFC (Zermelo–Fraenkel + választási axióma) konzisztens, akkor az összhangban van a kontinuumhipotézissel. Azaz:
ZFC ⇒ nem cáfolható CH
Cohen új technikával (forcing) megmutatta, hogy ha ZFC konzisztens, akkor az összhangban van a CH tagadásával is:
ZFC ⇒ nem bizonyítható CH
🔁 Tehát együtt: → A CH sem bizonyítható, sem nem cáfolható ZFC-ben → Független ZFC-től
Ez volt az első konkrét példa arra, hogy egy egyszerűnek tűnő matematikai kérdés – „Van-e köztes számosság ℕ és ℝ között?” – nem dönthető el az általunk elfogadott axiómarendszeren belül.
Ez megrengette a klasszikus elképzelést, miszerint minden „jól megfogalmazott” kérdésnek van igazságértéke.
A modern halmazelméletben gyakori megközelítés, hogy további axiómákat (pl. Martin’s Axiom, Large Cardinal Axioms) vizsgálnak annak érdekében, hogy eldöntsék, melyik modell „természetesebb” vagy hasznosabb más matematikai elméletekhez.
| Fogalom | Jelentés |
|---|---|
| ℵ₀ | Természetes számok számossága |
| 𝑐 | Valós számok számossága |
| CH | Nincs halmaz, aminek számossága ℵ₀ és 𝑐 között van |
| Gödel | CH nem cáfolható ZFC-ben |
| Cohen | CH nem bizonyítható ZFC-ben |
| Következmény | CH független ZFC-től |