convex combination

convex combination (tsz. convex combinations)

1. (informatika) A convex combination (konvex kombináció) egy alapvető fogalom a lineáris algebra, konvex analízis, geometria és optimalizálás területén. Olyan lineáris kombinációt jelent, ahol az együtthatók nemnegatívak és összegük 1 – vagyis a kombináció a pontok közötti “átlagos” helyet jelenti.

Legyenek ${\textstyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} ^{d}}$ vektorok. A következő lineáris kombináció:

$${\displaystyle x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\dots +\lambda _{n}x_{n}}$$

konvex kombináció, ha:

• Minden ${\textstyle \lambda _{i}\geq 0}$ (nemnegatív)
• ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1}$

Két pont: ${\textstyle A=(1,2)}$, ${\textstyle B=(5,4)}$

A konvex kombináció:

$${\displaystyle x=(1-\theta )A+\theta B,\quad \theta \in }$$

Ez a két pont közti szakasz minden pontját leírja!

• A konvex kombináció pontot hoz létre a pontok konvex burkán (convex hull) belül
• Ha csak két pont: a szakasz köti össze őket
• Ha három pont a síkon: a háromszög belsejében lévő pontokat jelöli
• Általánosan: egy konvex kombináció sosem “lóg ki” az alapvektorok konvex burkából

A konvex burok azon összes pont halmaza, amely konvex kombinációja egy adott pontkészletnek.

• ${\textstyle {\text{conv}}(S)=\left\{\sum _{i}\lambda _{i}x_{i}\mid \sum \lambda _{i}=1,\lambda _{i}\geq 0\right\}}$
• A legkisebb konvex halmaz, amely tartalmazza az összes pontot

Kombinációtípus	Feltételek a súlyokra	Geometriai jelentés
Lineáris kombináció	${\textstyle \lambda _{i}\in \mathbb {R} }$	Bárhol lehet az eredmény
Affin kombináció	${\textstyle \sum \lambda _{i}=1}$	Pont az affine burkon belül
Konvex kombináció	${\textstyle \lambda _{i}\geq 0,\sum \lambda _{i}=1}$	Pont a konvex burkon belül

• Két érték „köztes” értéke:

  $${\displaystyle x(t)=(1-t)x_{1}+tx_{2},\quad t\in }$$

• Mixtúra modellek: konvex kombinációval vegyítjük a komponenseloszlásokat
• Neurális hálók: rétegek kombinációi
• Klaszterközéppontok konvex kombinációval számolhatók

• Vegyes stratégiák → valószínűségi kombináció

• A konvex kombinációk segítenek definiálni konvex halmazokat, ahol hatékony algoritmusok működnek

• Két pont: az őket összekötő szakasz (interpoláció)
• Három pont: a háromszög (barycentrikus koordináták)
• Több pont: konvex sokszög / poliéder

A konvex kombinációk halmaza mindig konvex: bármely két benne lévő pont közötti szakasz is benne van.

Adott:

• ${\textstyle A=(1,0)}$
• ${\textstyle B=(0,2)}$
• ${\textstyle C=(2,3)}$

Súlyok: ${\textstyle \lambda _{A}=0.2}$, ${\textstyle \lambda _{B}=0.5}$, ${\textstyle \lambda _{C}=0.3}$

Ekkor a konvex kombináció:

$${\displaystyle x=0.2\cdot A+0.5\cdot B+0.3\cdot C=(0.2,0)+(0,1.0)+(0.6,0.9)=(0.8,1.9)}$$

#include <iostream>
#include <vector>

std::vector<double> convexCombination(const std::vector<std::vector<double>>& points,
                                      const std::vector<double>& weights) {
    int dim = points.size();
    std::vector<double> result(dim, 0.0);

    for (size_t i = 0; i < points.size(); ++i) {
        for (int d = 0; d < dim; ++d) {
            result += weights * points;
        }
    }
    return result;
}

int main() {
    std::vector<std::vector<double>> points = {{1, 0}, {0, 2}, {2, 3}};
    std::vector<double> weights = {0.2, 0.5, 0.3};
    
    std::vector<double> result = convexCombination(points, weights);
    std::cout << "Konvex kombináció: (" << result << ", " << result << ")\n";
    return 0;
}

• Zárt: a konvex kombinációk halmaza zárt
• Skálázás: a kombinációk stabilak affinn transzformációra
• Szorzás: csak nemnegatív súlyokkal működik

Fogalom	Jelentés
Convex combination	Olyan lineáris kombináció, ahol a súlyok összege 1 és mind pozitív
Matematikai forma	${\textstyle x=\sum \lambda _{i}x_{i}}$, ${\textstyle \lambda _{i}\geq 0}$, ${\textstyle \sum \lambda _{i}=1}$
Geometriai jelentés	Az alappontok közötti átlagos hely
Kapcsolódó fogalmak	Konvex burok, affinn kombináció
Felhasználás	Optimalizálás, interpoláció, ML, számítógépes grafika

A konvex kombinációk nemcsak algebrai eszközök, hanem geometriai intuíciót is hordoznak: segítenek megérteni, hogyan lehet pontokat „összeolvasztani”, keverni, vagy akár döntéseket „súlyozni”.

• convex combination - Szótár.net (en-hu)
• convex combination - Sztaki (en-hu)
• convex combination - Merriam–Webster
• convex combination - Cambridge
• convex combination - WordNet
• convex combination - Яндекс (en-ru)
• convex combination - Google (en-hu)
• convex combination - Wikidata
• convex combination - Wikipédia (angol)