convex function

convex function (tsz. convex functions)

1. (informatika) konvex függvény

A convex function (konvex függvény) a matematikai analízis, az optimalizálás és a gépi tanulás egyik legfontosabb fogalma. A konvex függvények különleges tulajdonsága, hogy minden lokális minimum egyben globális minimum is – ezáltal könnyen optimalizálhatóak és matematikailag jól kezelhetőek.

Egy ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ függvény konvex, ha dómainje konvex halmaz, és bármely két pontjára ${\textstyle x,y}$ és ${\textstyle \theta \in }$ esetén teljesül:

$${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\leq \theta f(x)+(1-\theta )f(y)}$$

📌 Ez a konvexitás definíciója: a függvény görbéje nem nyúlik ki a két pont közötti szakasz fölé.

A függvénygrafikon „alulról homorú”:

• A két pont közötti egyenes szakasz a grafikon felett vagy érinti azt
• Pl. a ${\textstyle f(x)=x^{2}}$ függvény konvex
• A konvex függvények „tál” alakúak

• ${\textstyle f(x)=x^{2}}$
• ${\textstyle f(x)=e^{x}}$
• ${\textstyle f(x)=\|x\|}$ (normák)
• ${\textstyle f(x)=\max\{x,0\}}$

• ${\textstyle f(x)=-x^{2}}$
• ${\textstyle f(x)=\sin(x)}$
• ${\textstyle f(x)=x^{3}-3x}$

Ha ${\textstyle f}$ kétszer deriválható, akkor:

• ${\textstyle f}$ konvex ↔ ${\textstyle f''(x)\geq 0}$ minden ${\textstyle x}$-re
• ${\textstyle f}$ szigorúan konvex ↔ ${\textstyle f''(x)>0}$

📌 A második derivált pozitív → függvény „felfelé nyílik”

Tegyük fel, hogy ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ kétszer differenciálható.

• ${\textstyle f}$ konvex ↔ a Hesse-mátrix ${\textstyle \nabla ^{2}f(x)}$ pozitív féldefinit minden ${\textstyle x}$-re
• ${\textstyle f}$ szigorúan konvex ↔ ${\textstyle \nabla ^{2}f(x)}$ pozitív definit

• Lokális minimum = globális minimum
• Hatékony algoritmusok (pl. gradiensmódszer, belső pontos módszerek)
• Konvex célfüggvény és konvex tartomány → könnyű optimalizálni

• Regressziók, logisztikus regresszió, SVM – konvex veszteségfüggvény
• Stabil, kiszámítható tanulás

Egy ${\textstyle f}$ függvény szigorúan konvex, ha:

$${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)<\theta f(x)+(1-\theta )f(y)\quad {\text{minden }}x\neq y,\theta \in (0,1)}$$

📌 Ez garantálja az egyértelmű minimumot – nincs több optimális pont.

• A konvex függvény csak konvex halmazon értelmezve „konvex”
• A konvex halmaz: bármely két pontját összekötő szakasz a halmazban van

📌 Például az ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$, pozitív ortáns, gömb – konvexek 📌 A körív, L-alakú tartomány – nem konvex

#include <iostream>
#include <cmath>

double f(double x) {
    return x * x + 2 * x + 1;  // konvex: (x + 1)^2
}

double df(double x) {
    return 2 * x + 2;
}

int main() {
    double x = 0.0;
    double alpha = 0.1;
    for (int i = 0; i < 100; ++i) {
        x = x - alpha * df(x);
    }

    std::cout << "Minimum x értéke: " << x << "\n";
    std::cout << "f(x): " << f(x) << "\n";
    return 0;
}

Fogalom	Jelentés
Convex function	Olyan függvény, amelynél a szakasz a grafikon alatt van
Matematikai feltétel	${\textstyle f(\theta x+(1-\theta )y)\leq \theta f(x)+(1-\theta )f(y)}$
Deriváltalapú kritérium	${\textstyle f''(x)\geq 0}$, vagy Hesse-mátrix pozitív féldefinit
Alkalmazás	Optimalizálás, ML, közgazdaságtan, játékelmélet
Előny	Lokális minimum = globális minimum

A konvex függvények a matematikai optimalizálás sarokkövei. Tulajdonságaik miatt széles körben alkalmazhatók – a tudományos modellezéstől a vállalati döntéstámogatásig, a mesterséges intelligenciáig.

• convex function - Szótár.net (en-hu)
• convex function - Sztaki (en-hu)
• convex function - Merriam–Webster
• convex function - Cambridge
• convex function - WordNet
• convex function - Яндекс (en-ru)
• convex function - Google (en-hu)
• convex function - Wikidata
• convex function - Wikipédia (angol)