csoportelmélet

• IPA:

csoportelmélet

1. (matematika, absztrakt algebra) A csoportelmélet a matematika egyik ága, amely a csoportok struktúrájával, tulajdonságaival és azok alkalmazásaival foglalkozik. A csoportok olyan algebrai struktúrák, amelyek egy halmaz és egy bináris művelet kombinációját képviselik, amely kielégíti bizonyos axiomatika szabályait.

Csoportok definíciója

Egy ${\textstyle G}$ halmaz csoport, ha a következő feltételek teljesülnek:

1. Zártság: Ha ${\textstyle a,b\in G}$, akkor ${\textstyle a*b\in G}$ (ahol ${\textstyle *}$ a csoport művelete).

2. Associativitás: Minden ${\textstyle a,b,c\in G}$ esetén: $${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$$

3. Identitás: Létezik egy ${\textstyle e\in G}$ elem, amelyre ${\textstyle a*e=e*a=a}$ minden ${\textstyle a\in G}$ esetén.

4. Inverz: Minden ${\textstyle a\in G}$ elemhez létezik egy ${\textstyle b\in G}$ olyan, hogy ${\textstyle a*b=b*a=e}$.

Csoportok típusai

1. Abeli csoportok: Olyan csoportok, amelyekre a művelet kommutatív, azaz ${\textstyle a*b=b*a}$ minden ${\textstyle a,b\in G}$ esetén.

2. Végtelen és véges csoportok: A csoportok osztályozhatók véges vagy végtelen számú elemük alapján.

3. Normálcsoportok: Egy ${\textstyle N\triangleleft G}$ normálcsoport, ha ${\textstyle gNg^{-1}\subseteq N}$ minden ${\textstyle g\in G}$ esetén.

Példák

1. Ciklikus csoportok: Olyan csoportok, amelyek generálhatóak egyetlen elem által. Például a ${\textstyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ csoport a modulo ${\textstyle n}$ aritmetika alapján.

2. Permutációs csoportok: A halmazok permutációiból álló csoportok, mint például a szimmetrikus csoport ${\textstyle S_{n}}$, amely az ${\textstyle n}$ elem permutációit tartalmazza.

3. Mátrixcsoportok: Az ${\textstyle n\times n}$ invertálható mátrixok képezik a csoportot a mátrixok szorzása alatt.

Alkalmazások

- Kombinatorika: A csoportelmélet segít a szimmetriák és kombinációk vizsgálatában. - Kriptográfia: A csoportok tulajdonságai alapvetőek a titkosítási algoritmusokban. - Fizika: A szimmetriák csoportelméleti megközelítései fontosak a kvantummechanikában és a részecskefizikában.

• angol: group theory (en)
• francia: théorie des groupes (fr)
• német: Gruppentheorie (de)
• orosz: теория групп (ru) (teorija grupp)

• csoportelmélet - Értelmező szótár (MEK)
• csoportelmélet - Etimológiai szótár (UMIL)
• csoportelmélet - Szótár.net (hu-hu)
• csoportelmélet - DeepL (hu-de)
• csoportelmélet - Яндекс (hu-ru)
• csoportelmélet - Google (hu-en)
• csoportelmélet - Helyesírási szótár (MTA)
• csoportelmélet - Wikidata
• csoportelmélet - Wikipédia (magyar)