differenciálegyenlet

• IPA:

differenciálegyenlet

1. (matematika) Olyan egyenlet, amelyben egy függvény, az ismeretlen mennyiség, és az illető függvény deriváltjai is szerepelnek. Minden differenciálegyenlet tehát speciális függvényegyenlet. Nincs általános módszer differenciálegyenletek megoldására. Bizonyos speciális esetekben a megoldások megadhatók képlettel (,,zárt alakban"), legtöbbször azonban csak numerikus (közelítő) módszerek állnak rendelkezésünkre.

A differenciálegyenlet egy olyan egyenlet, amelyben egy ismeretlen függvény és annak deriváltai szerepelnek. Ezek az egyenletek a matematikai modellezés fontos eszközei, mivel számos fizikai, biológiai, kémiai és mérnöki rendszert leírnak, ahol a változók közötti kapcsolatok időbeli vagy térbeli változásokon alapulnak.

Alapfogalmak

1. Differenciálegyenlet: Egy olyan egyenlet, amely tartalmaz egy vagy több deriváltat. Általános formája: $${\displaystyle F(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n)})=0}$$ ahol: - ${\textstyle y}$ az ismeretlen függvény, - ${\textstyle y',y'',\ldots ,y^{(n)}}$ a függvény első, második és ${\textstyle n}$-edik deriváltja, - ${\textstyle x}$ a független változó.

2. Független és függő változó: Az ismeretlen függvény (általában ${\textstyle y}$) a függő változó, míg a független változó (általában ${\textstyle x}$) az, amely szerint deriválunk.

3. Megoldás: A differenciálegyenlet megoldása az a függvény, amely kielégíti az egyenletet. Például ha ${\textstyle y'=2x}$, akkor a megoldás ${\textstyle y=x^{2}+C}$, ahol ${\textstyle C}$ egy tetszőleges konstans.

Típusok

1. Rend szerint:

Elsőrendű differenciálegyenlet: Az egyenlet csak az ismeretlen függvény első deriváltját tartalmazza, pl. ${\textstyle y'+y=0}$.

Másodrendű differenciálegyenlet: Az egyenlet tartalmazza az ismeretlen függvény második deriváltját, pl. ${\textstyle y''+y=0}$.

Általánosan, az n-edrendű differenciálegyenlet tartalmazza az ${\textstyle n}$-edik deriváltat.

2. Lineáris és nemlineáris:

Lineáris differenciálegyenlet: Az egyenletben az ismeretlen függvény és deriváltjai csak első hatványon szerepelnek, pl. ${\textstyle y''+3y'+2y=0}$.

Nemlineáris differenciálegyenlet: Ha az ismeretlen függvény vagy deriváltjai nemlineáris formában jelennek meg, pl. ${\textstyle y''+y^{2}=0}$.

3. Szokásos és parciális:

• Szokásos differenciálegyenlet (ODE): Csak egy független változót tartalmaz.
• parciális differenciálegyenlet (PDE): Két vagy több független változót tartalmaz. Például a hővezetési egyenlet: $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ ahol ${\textstyle u}$ a hőmérséklet, ${\textstyle t}$ az idő, ${\textstyle x}$ a hely, és ${\textstyle \alpha }$ egy konstans.

Megoldási módszerek

1. Analitikus módszerek: - Szeparálás: Használható elsőrendű differenciálegyenleteknél. Például: $${\displaystyle y'=ky\implies {\frac {dy}{y}}=kdx}$$ Az integrálás után megkapjuk: ${\textstyle y=Ce^{kx}}$.

- Integráló tényező: Lineáris elsőrendű differenciálegyenleteknél alkalmazható. Az integráló tényező segítségével az egyenlet könnyen megoldható.

- Homogén és inhomogén egyenletek: Az homogén rész megoldása után a különleges megoldás keresése a nem homogén részhez.

2. Numerikus módszerek: - Euler-módszer: Egyszerű, de hatékony módszer a differenciálegyenletek közelítő megoldására. Az alapelv: $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(x_{n},y_{n})}$$ ahol ${\textstyle h}$ a lépésköz, és ${\textstyle f(x,y)}$ az egyenlet.

- Runge-Kutta módszer: A numerikus megoldás pontosabb módszere, amely több lépésben számítja ki az értékeket.

Példák

1. Elsőrendű differenciálegyenlet: $${\displaystyle y'=2x\implies y=x^{2}+C}$$

2. Másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet: $${\displaystyle y''-4y'+4y=0\implies y(x)=(A+Bx)e^{2x}}$$ ahol ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ konstansok.

Alkalmazás

- Fizika: A mozgás törvényei, elektromágneses mezők, hullámok és más fizikai jelenségek leírása. - Biológia: Populációk növekedésének modellezése. - Kémia: Reakciókinetika elemzése. - Gazdaságtan: Gazdasági modellek leírása, ahol a változók időbeli változása fontos.

Összegzés

A differenciálegyenletek kulcsszerepet játszanak a matematikai modellezésben és számos tudományágban. Megoldásuk analitikus vagy numerikus módszerekkel történhet, és a gyakorlatban széles körben alkalmazzák őket különböző területeken.

• angol: differential equation (en)
• finn: differentiaaliyhtälö (fi)
• francia: équation différentielle (fr)
• német: Differentialgleichung (de)
• orosz: дифференциальное уравнение (ru) (differencialʹnoje uravnenije)

• differenciálegyenlet - Értelmező szótár (MEK)
• differenciálegyenlet - Etimológiai szótár (UMIL)
• differenciálegyenlet - Szótár.net (hu-hu)
• differenciálegyenlet - DeepL (hu-de)
• differenciálegyenlet - Яндекс (hu-ru)
• differenciálegyenlet - Google (hu-en)
• differenciálegyenlet - Helyesírási szótár (MTA)
• differenciálegyenlet - Wikidata
• differenciálegyenlet - Wikipédia (magyar)