differential calculus

part of a series of articles about
calculus
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
fundamental theorem limits continuity rolle's theorem mean value theorem inverse function theorem
differential definitions derivative (generalizations) differential infinitesimal of a function total concepts differentiation notation second derivative implicit differentiation logarithmic differentiation related rates taylor's theorem rules and identities sum product chain power quotient l'hôpital's rule inverse general leibniz faà di bruno's formula reynolds
integral lists of integrals integral transform leibniz integral rule definitions antiderivative integral (improper) riemann integral lebesgue integration contour integration integral of inverse functions integration by parts discs cylindrical shells substitution (trigonometric, tangent half-angle, euler) euler's formula partial fractions (heaviside's method) changing order reduction formulae differentiating under the integral sign risch algorithm
series geometric (arithmetico-geometric) harmonic alternating power binomial taylor convergence tests summand limit (term test) ratio root integral direct comparison limit comparison alternating series cauchy condensation dirichlet abel
vector gradient divergence curl laplacian directional derivative identities theorems gradient green's stokes' divergence generalized stokes helmholtz decomposition
multivariable formalisms matrix tensor exterior geometric definitions partial derivative multiple integral line integral surface integral volume integral jacobian hessian
advanced calculus on euclidean space generalized functions limit of distributions
specialized fractional malliavin stochastic variations
miscellanea precalculus history glossary list of topics integration bee mathematical analysis nonstandard analysis
Sablon:calculus m v sz

differential calculus (tsz. differential calculuses)

1. (informatika) differenciálszámítás

A differenciálszámítás a matematikai analízis egyik fő ága, amely azzal foglalkozik, hogyan változnak a függvények, és hogyan határozható meg egy görbe meredeksége egy adott pontban.

A központi fogalom: derivált.

• Milyen gyorsan változik egy függvény?
• Hol van egy görbének maximuma/minimuma?
• Hol növekszik vagy csökken egy függvény?
• Mekkora a pillanatnyi sebesség egy adott időpontban?

Egy függvény deriváltja azt mutatja meg, milyen gyorsan változik az értéke egy adott pontban.

Formálisan:

$${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

Ez a függvény érintőjének meredeksége az ${\textstyle x}$ pontban.

Ha:

$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$

akkor:

$${\displaystyle f'(x)=2x}$$

Tehát ${\textstyle x=3}$ esetén a meredekség:

$${\displaystyle f'(3)=6}$$

Ez azt jelenti, hogy a függvény ott meredeken emelkedik.

Függvény	Deriváltja
${\textstyle c}$ (állandó)	0
${\textstyle x^{n}}$	${\textstyle nx^{n-1}}$
${\textstyle \sin x}$	${\textstyle \cos x}$
${\textstyle \cos x}$	${\textstyle -\sin x}$
${\textstyle e^{x}}$	${\textstyle e^{x}}$
${\textstyle \ln x}$	${\textstyle {\frac {1}{x}}}$

$${\displaystyle (f+g)'=f'+g'\quad ;\quad (f-g)'=f'-g'}$$

$${\displaystyle (f\cdot g)'=f'g+fg'}$$

$${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$$

$${\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)}$$

Terület	Alkalmazás
Fizika	Sebesség: ${\textstyle v(t)=s'(t)}$, Gyorsulás: ${\textstyle a(t)=v'(t)}$
Gazdaság	Bevétel és költségváltozások vizsgálata
Biológia	Populációnövekedés üteme
Kémia	Reakciósebesség változása
Görbék elemzése	Érintők, szélsőértékek, monotonitás, konvexitás

1. Derivált kiszámítása: ${\textstyle f'(x)}$
2. Zérushelyek keresése: ${\textstyle f'(x)=0}$ → lehetséges maximum/minimum
3. Előjelvizsgálat: hol pozitív/negatív → növekvő/csökkenő
4. Második derivált (ha szükséges): ${\textstyle f''(x)}$ → inflexiós pontok

Legyen:

$${\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+3}$$

1. Derivált:

$${\displaystyle f'(x)=2x-4}$$

2. Állítsuk nullára:

$${\displaystyle 2x-4=0\Rightarrow x=2}$$

3. Második derivált: ${\textstyle f''(x)=2}$ → pozitív → lokális minimum

A differenciálszámítás csak ott értelmezhető, ahol a függvény folytonos és sima (nincs ugrás, törés, függőleges érintő).

• Integrálszámítás (a differenciálás inverz művelete)
• Multiváltozós differenciálszámítás (részderiváltak, gradiens)
• Differenciálegyenletek (változás leírása függvényként)

• differential calculus - Szótár.net (en-hu)
• differential calculus - Sztaki (en-hu)
• differential calculus - Merriam–Webster
• differential calculus - Cambridge
• differential calculus - WordNet
• differential calculus - Яндекс (en-ru)
• differential calculus - Google (en-hu)
• differential calculus - Wikidata
• differential calculus - Wikipédia (angol)