elemi bázistranszformáció

• IPA:

elemi bázistranszformáció

1. (matematika) A bázistranszformációnak azt a legegyszerűbb esetét, amelynél az adott bázisnak egy lépésben csak egy bázisvektorát cseréljük ki, elemi bázistranszformációnak nevezzük.

Legyen ${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ bázis, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{n},c\neq o.}$

Ekkor létezik olyan i index, hogy a ${\displaystyle B'=(B\setminus \{b_{i}\})\cup \{c\}}$ is bázis ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-ben, és bármely ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-beli vektornak a B bázisra vonatkozó koordinátáiból (ismerve a c vektor B-re vonatkozó koordinátáit is) egyszerűen számolhatjuk a B'-re vonatkozó koordinátáit.

Bizonyítás

Legyen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Az x és c előállítása a B bázison legyen a következő:

1. ${\displaystyle x=\lambda _{1}b_{1}+\lambda _{2}b_{2}+\dots +\lambda _{n}b_{n}}$
2. ${\displaystyle c=\gamma _{1}b_{1}+\gamma _{2}b_{2}+\dots +\gamma _{n}b_{n}}$

Mivel ${\displaystyle c\neq o,}$ így létezik olyan i index, hogy ${\displaystyle \gamma _{i}\neq 0.}$

Ekkor a ${\displaystyle B'=(B\setminus \{b_{i}\})\cup \{c\}}$ vektorhalmaz lineárisan független, ellenkező esetben ugyanis c lineárisan függene ${\displaystyle B\setminus \{b_{1}\}}$ elemeitől, ami a bázison történő egyértelmű előállíthatóság miatt ellentmondana (2)-nek, ahol feltettük, hogy ${\displaystyle \gamma _{1}\neq 0.}$

Továbbá B' elemszáma megegyezik B elemszámával, így B' bázis.

Ezután keressük az x vektor B'-re vonatkozó koordinátáit.

(2)-ből fejezzük ki ${\displaystyle b_{i}}$ -t és a kapott kifejezést helyettesítsük be (1)-be.

Ekkor kapjuk:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}b_{1}+\dots +\lambda _{i-1}b_{i-1}+\lambda \left({\dfrac {1}{\gamma _{i}}}c-{\dfrac {\gamma _{1}}{\gamma _{1}}}b_{1}-\dots {\dfrac {\gamma _{i-1}}{\gamma _{i}}}b_{i-1}-{\dfrac {\gamma _{i+1}}{\gamma _{i}}}b_{i+1}-\dots -{\dfrac {\gamma _{n}}{\gamma _{i}}}b_{n}\right)+\lambda _{i+1}b_{i+1}+\dots +\lambda _{n}b_{n}\\&=\left(\lambda _{1}-{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\gamma _{1}\right)b_{1}+\dots +\left(\lambda _{i-1}-{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\gamma _{i-1}\right)b_{i-1}+{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}c+\left(\lambda _{i+1}-{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\gamma _{i+1}\right)b_{i+1}+\dots +\left(\lambda _{n}-{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\gamma _{n}\right)b_{n}\end{aligned}}}$

Ennek alapján a transzformációs szabály könnyen formulázható.

A ${\displaystyle b_{i}\leftrightarrow c}$ bázisvektorcsere esetén az új koordináták ${\displaystyle ({\hat {\lambda _{j}}})}$ a régi koordinátákból ${\displaystyle (\lambda _{j})}$ a következő módon nyerhetők:

${\displaystyle {\hat {\lambda _{j}}}=\lambda _{j}-{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\cdot \gamma _{j}}$

${\displaystyle {\hat {\lambda _{i}}}={\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\quad j=1,\dots ,n;\quad j\neq i}$

Megjegyzések

A könnyebb megjegyezhetőség kedvéért megadjuk az elemi bázistranszformációval számolható koordináták táblázatos elrendezését is.

Ebben feltüntetjük a bázisból távozó ${\displaystyle (b_{i}),}$ a bázisba belépő (c) és egy tetszőleges vektor (x) koordinátáit a két bázisra vonatkozóan. ${\displaystyle (A{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}}$ hányadost ${\displaystyle \delta }$-val jelöljük.)

${\displaystyle \left|{\begin{array}{c c c c}{\text{bázis}}&b_{i}&c&x\\\hline b_{1}&0&\gamma _{1}&\lambda _{1}\\b_{2}&0&\gamma _{2}&\lambda _{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{i}&1&(\gamma _{i})&\lambda _{i}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n}&0&\gamma _{n}&\lambda _{n}\end{array}}\right|\quad \left|{\begin{array}{c c c c}{\text{bázis}}&b_{i}&c&x\\\hline b_{1}&-{\dfrac {\gamma _{1}}{\gamma _{1}}}&0&\lambda _{1}-\delta \cdot \gamma _{1}\\b_{2}&-{\dfrac {\gamma _{2}}{\gamma _{i}}}&0&\lambda _{2}-\delta \cdot \gamma _{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\c&{\dfrac {1}{\gamma _{i}}}&1&\delta \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n}&-{\dfrac {\gamma _{n}}{\gamma _{i}}}&0&\lambda _{n}-\delta \cdot \gamma _{n}\end{array}}\right|}$

A ${\displaystyle \gamma _{i}\neq 0}$ számot generáló elemnek szokás nevezni.

Legyen ${\displaystyle B_{1}}$ és ${\displaystyle B_{2}}$ két bázis az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ vektortérben.

Ha egy ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ vektor koordinátáit ismerjük a ${\displaystyle B_{1}}$ bázisra vonatkozóan, akkor x ${\displaystyle B_{2}}$ -re vonatkozó koordinátáit elemi bázistranszformációk sorozatával határozhatjuk meg, lépésről lépésre kicserélve a két bázis vektorait. (Természetesen induláskor ismernünk kell a ${\displaystyle B_{2}}$ bázis vektorainak ${\displaystyle B_{1}}$ -re vonatkozó koordinátáit is.)

• angol: elementary basis transformation (en)

• elemi bázistranszformáció - Értelmező szótár (MEK)
• elemi bázistranszformáció - Etimológiai szótár (UMIL)
• elemi bázistranszformáció - Szótár.net (hu-hu)
• elemi bázistranszformáció - DeepL (hu-de)
• elemi bázistranszformáció - Яндекс (hu-ru)
• elemi bázistranszformáció - Google (hu-en)
• elemi bázistranszformáció - Helyesírási szótár (MTA)
• elemi bázistranszformáció - Wikidata
• elemi bázistranszformáció - Wikipédia (magyar)