exponential utility function

exponential utility function (tsz. exponential utility functions)

1. (informatika) Az exponential utility function (exponenciális hasznossági függvény) egy klasszikus és kiemelkedően fontos modell a kockázatkerülő döntéshozatal leírására a közgazdaságtanban, döntéselméletben, pénzügyekben és biztosításmatematikában. Ez a függvény különösen népszerű a várható hasznosság elméletében (expected utility theory), ahol a cél a döntések értékelése valószínűségi kimenetelek mellett.

A utility function ${\textstyle u(x)}$ egy szubjektív függvény, amely kifejezi, mennyire „értékes” vagy kívánatos egy adott pénzösszeg (vagy más javak). Nem feltétlenül azonos a pénz tényleges nagyságával – a kockázathoz való viszonytól függ.

Az exponenciális hasznossági függvény formája:

$${\displaystyle u(x)=-e^{-ax}\quad {\text{vagy}}\quad u(x)=1-e^{-ax}}$$

– ahol:

• ${\textstyle x}$: vagyoni szint, pénz
• ${\textstyle a>0}$: kockázatkerülési paraméter
• A negatív előjel biztosítja, hogy növekvő és konkáv függvény legyen (→ kockázatkerülő)

A konvexitás vagy konkávitás mutatja meg a kockázathoz való viszonyt:

• Konkáv → kockázatkerülő
• Lineáris → kockázatsemleges
• Konvex → kockázatkedvelő

Döntési helyzetben, ahol az eredmény nem biztos, az ügynök (döntéshozó) a várható hasznosságot számolja:

$${\displaystyle \mathbb {E} =\sum _{i}p_{i}u(x_{i})\quad {\text{vagy folytonosnál:}}\quad \int u(x)f(x)\,dx}$$

A döntéshozó azt a lehetőséget választja, amelyre ${\textstyle \mathbb {E} }$ a legnagyobb.

Az exponenciális függvénynek több hasznos tulajdonsága van:

• Konstans abszolút kockázatkerülés (CARA):

  $${\displaystyle A(x)=-{\frac {u''(x)}{u'(x)}}=a\quad {\text{állandó}}}$$

• Egyszerű matematikai kezelés – különösen normáleloszlás és lineáris függvények esetén

• Analitikusan számolható várható hasznosság sok eloszlásnál

Ez az elmélet azt mondja, hogy a döntéshozó ugyanúgy viszonyul a kockázathoz, függetlenül attól, hogy mekkora a vagyona.

Ez realizmusban korlátozott, de matematikailag nagyon kényelmes.

Egy döntéshozónak két lehetősége van:

• Biztos nyereség: 100 ezer Ft
• Lottó: 50% eséllyel 200 ezer Ft, 50% eséllyel 0 Ft

A döntéshozó hasznossági függvénye:

$${\displaystyle u(x)=-e^{-0.00005x}}$$

Számoljuk ki:

• Biztos nyereség:

  $${\displaystyle u(100{,}000)=-e^{-5}\approx -0.0067}$$

• Lottó várható hasznossága:

  $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot (-e^{-10})+{\frac {1}{2}}\cdot (-e^{0})={\frac {1}{2}}(-4.5\times 10^{-5}-1)\approx -0.5000}$$

👉 A biztos pénz nagyobb hasznosságot ad → a döntéshozó kockázatkerülő, nem játszik.

• Ha ${\textstyle a}$ nő → erősebb kockázatkerülés
• Ha ${\textstyle a\to 0}$ → lineáris lesz a függvény → kockázatsemleges döntéshozó
• Ha ${\textstyle a<0}$ lenne → kockázatkedvelő, de ez a modell ritkán használja

#include <iostream>
#include <cmath>

double exponentialUtility(double x, double a) {
    return -std::exp(-a * x);
}

int main() {
    double sure = 100000;
    double risky1 = 200000;
    double risky2 = 0;
    double a = 0.00005;

    double u_sure = exponentialUtility(sure, a);
    double u_risky = 0.5 * exponentialUtility(risky1, a) + 0.5 * exponentialUtility(risky2, a);

    std::cout << "Biztos hasznosság: " << u_sure << "\n";
    std::cout << "Lottó várható hasznossága: " << u_risky << "\n";

    if (u_sure > u_risky)
        std::cout << "A döntéshozó nem vállalja a kockázatot.\n";
    else
        std::cout << "A döntéshozó vállalja a kockázatot.\n";

    return 0;
}

Fogalom	Jelentés
Exponential utility	Egy speciális hasznossági függvény, amely modellezi a kockázatkerülést
Alakja	${\textstyle u(x)=-e^{-ax}}$, konkáv
Jellemzője	Állandó abszolút kockázatkerülés (CARA)
Előnyei	Egyszerű, jól viselkedik statisztikai eloszlásokkal
Alkalmazás	Közgazdaságtan, biztosítás, pénzügy, játékelmélet

Az exponential utility az egyik legegyszerűbb, de leghatékonyabb modell a kockázat elméleti kezelésére. A CARA tulajdonság matematikailag kényelmes, de a valós életben gyakran kiegészítésre szorul (pl. CRRA – relatív kockázatkerülés).

• exponential utility function - Szótár.net (en-hu)
• exponential utility function - Sztaki (en-hu)
• exponential utility function - Merriam–Webster
• exponential utility function - Cambridge
• exponential utility function - WordNet
• exponential utility function - Яндекс (en-ru)
• exponential utility function - Google (en-hu)
• exponential utility function - Wikidata
• exponential utility function - Wikipédia (angol)