foundations of mathematics

part of a series on
mathematics
history index
areas number theory geometry algebra calculus and analysis discrete mathematics logic set theory probability statistics and decision theory relationship with sciences physics chemistry geosciences computation biology linguistics economics philosophy education
mathematics portal
Sablon:math topics sidebar m v sz

foundations of mathematics (tsz. foundations of mathematicses)

1. (informatika) A matematika alapjai (foundations of mathematics) a matematikai gondolkodás, logika és bizonyítás mélyebb filozófiai és formális kérdéseivel foglalkozó terület. Célja annak feltárása, hogy miből épül fel a matematika, milyen módszerekkel bizonyítunk, és mennyire megbízhatóak ezek az alapok.

A 19. század végére a matematika hatalmas fejlődésen ment keresztül:

• Analízis, geometria, valószínűségszámítás stb. önálló területekké váltak.
• Kiderült, hogy a matematika sok meglévő fogalma (pl. végtelen sorok, halmazok) ellentmondásokhoz vezethet.
• Felmerült a kérdés: Mi az, amit biztosan igaznak tekinthetünk a matematikában?

A matematika alapjaival foglalkozó kutatók ilyen kérdéseket vizsgálnak:

1. Mi a szám fogalma?
2. Mi a halmaz fogalma?
3. Mi az a bizonyítás?
4. Hogyan lehet formális rendszert alkotni a matematikára?
5. Létezik-e abszolút igazság a matematikában?
6. A matematika teljes és ellentmondásmentes-e?

• Fő képviselő: David Hilbert.
• A matematika nem más, mint formális szimbólummanipuláció előre lefektetett szabályok szerint.
• A cél egy olyan ellentmondásmentes és teljes formális rendszer megalkotása, amelyből minden matematikai tétel levezethető.

Hilbert híres mondása:

Wir müssen wissen — wir werden wissen! (Tudnunk kell — tudni fogunk!)

• Fő képviselők: Gottlob Frege, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead.
• A matematika valójában logika.
• Minden matematikai fogalom (szám, halmaz, függvény) levezethető logikai alapelvekből.

Példa: Russell és Whitehead hatalmas munkája, a Principia Mathematica, megpróbálta logikai alapokon újra felépíteni az egész matematikát.

• Fő képviselő: L. E. J. Brouwer.
• A matematika az emberi elme konstruktív tevékenysége.
• Csak az létezik matematikailag, amit konkrétan meg tudunk konstruálni.
• Elveti a klasszikus logika bizonyos elemeit (pl. a kizárt harmadik elvét), ha az nem vezet konkrét konstrukcióhoz.

Az egyik legfontosabb mérföldkő a matematika alapjainak kutatásában Kurt Gödel két híres nemteljességi tétele (1931):

• Bármely elég gazdag (pl. a természetes számok aritmetikáját tartalmazó) ellentmondásmentes formális rendszerben van olyan tétel, amely igaz, de a rendszerben nem bizonyítható.

• Egy ilyen rendszer saját ellentmondásmentességét sem tudja bizonyítani a saját keretein belül.

Következmény: Hilbert álma egy teljes és ellentmondásmentes formális matematika megalkotásáról meghiúsult.

A modern matematika egyik legfontosabb “alapnyelve” a halmazelmélet.

• A Zermelo-Fraenkel-féle halmazelmélet (ZF, majd ZFC, a választási axiómával kiegészítve) az egyik legszélesebb körben elfogadott alapvető keret.
• Minden matematikai objektumot (számokat, függvényeket, terek elemeit stb.) halmazként lehet modellezni.

Példa:

• A természetes számok is modellezhetők halmazokkal (von Neumann-féle konstrukció):
  • 0 = ∅ (az üreshalmaz)
  • 1 = {0}
  • 2 = {0,1}
  • 3 = {0,1,2}
  • stb.

A halmazelméletben is előfordulnak paradoxonok (pl. Russell-paradoxon), ezért gondosan meg kell választani az axiómákat.

Példa ZFC axiómák:

1. Extenzionalitás — két halmaz akkor és csak akkor azonos, ha ugyanazok az elemei.
2. Párosítás — bármely két halmaznak létezik az őket tartalmazó halmaza.
3. Unió — bármely halmaz uniója is halmaz.
4. Pótlás — bármely definíció szerint képezett kép is halmaz.
5. Választási axióma — bármely halmazrendszerből ki lehet választani elemeket.

Nem mindenki fogadja el a ZFC-t “abszolút alapnak”. Vannak alternatív megközelítések:

• Konstruktív matematika — csak explicit módon megkonstruálható objektumokkal dolgozik.
• Kategóriaelmélet — sok matematikus szerint természetesebb “alapnyelv”, mint a halmazelmélet.
• Típuselmélet — eredetileg Bertrand Russell vezette be a paradoxonok elkerülésére.

A matematika alapjainak kutatásához fejlett matematikai logikai eszközöket használunk:

1. Formális nyelvek — pontos szintaktikai szabályok.
2. Deduktív rendszerek — milyen szabályokkal következtethetünk tételekre.
3. Modellelmélet — hogyan értelmezzük a formális nyelveket modellekben.
4. Bizonyíthatóságelmélet — hogyan bizonyíthatóak állítások.
5. Számításelmélet — mi az, ami kiszámítható, algoritmizálható.

Egy modern trend a kategóriaelmélet felhasználása a matematika alapjaiként:

• A matematikai struktúrák és köztük lévő leképezések (morfinizmusok) vizsgálata.
• Az algebra, topológia, geometria fogalmait egységes keretbe foglalja.
• A típuselmélet és homotópia típuselmélet (HoTT) révén új lehetőséget kínál a matematika formális alapjainak felépítésére.

A végtelen fogalma az alapkutatások egyik legmélyebb filozófiai kérdése:

• Potenciális végtelen — mindig tovább bővíthető.
• Aktuális végtelen — létezik teljes végtelen halmaz (pl. természetes számok halmaza ℕ).

A Cantor-féle halmazelmélet elfogadja az aktuális végtelent, ami nem minden filozófiai irányzatban elfogadható.

A matematika alapjai kutatási terület célja:

• Megérteni, hogy miből épül fel a matematika.
• Milyen formális szabályok és logikai eszközök segítségével bizonyítjuk a tételeket.
• Milyen filozófiai feltételezések szükségesek (végtelen, létezés, konstrukció).

Fő hatások:

1. Gödel tételei után világos, hogy teljes és ellentmondásmentes formális rendszer nem hozható létre.
2. A halmazelmélet és a kategóriaelmélet ma a legelterjedtebb “alapnyelvek”.
3. Az intuicionista és konstruktív nézetek alternatívát kínálnak, különösen a számításelmélet és a programozás terén.
4. A logika, modellelmélet, számításelmélet eszközei révén a matematika alapkutatása ma is aktív és élő terület.

• foundations of mathematics - Szótár.net (en-hu)
• foundations of mathematics - Sztaki (en-hu)
• foundations of mathematics - Merriam–Webster
• foundations of mathematics - Cambridge
• foundations of mathematics - WordNet
• foundations of mathematics - Яндекс (en-ru)
• foundations of mathematics - Google (en-hu)
• foundations of mathematics - Wikidata
• foundations of mathematics - Wikipédia (angol)