gyökvonás komplex számból

• IPA:

gyökvonás komplex számból

1. (matematika) Minden nem nulla komplex számnak pontosan n darab n -edik gyöke van a komplex számok között, és ezek egy origó középpontú szabályos sokszög csúcsaiban helyezkednek el. A z szám n-edik gyökei azért alkotnak szabályos n-szöget, mert ez ${\displaystyle w_{0}}$-lal szorzással, azaz forgatva nyújtással kapható az egységgyökök által alkotott sokszögből. Legyen ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ),n\in \mathbb {N} .}$

Ekkor ${\displaystyle {\sqrt{z}}={\sqrt{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi +2k\pi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi +2k\pi }{n}}\right),\quad k=0,1,\ldots ,n-1}$

Egy ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ komplex szám összes n-edik gyökét felírhatjuk az

${\displaystyle {\sqrt{z}}={\sqrt{r}}\left(\cos \left({\dfrac {\varphi }{n}}+{\dfrac {2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\varphi }{n}}+{\dfrac {2k\pi }{n}}\right)\right)=}$ ${\displaystyle {\sqrt{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi }{n}}\right)\left(\cos {\dfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\dfrac {2k\pi }{n}}\right)}$ alakban, ahol ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n-1.}$

Azaz, ha ${\displaystyle w_{0}:={\sqrt{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi }{n}}\right)}$ jelöli az első n-edik gyökét z-nek, akkor ${\displaystyle w_{0},w_{0}\varepsilon _{1},w_{0}\varepsilon _{1}^{2},\dots ,w_{0}\varepsilon _{1}^{n-1}}$ adja az összes kölönböző ${\displaystyle n}$-edik gyökét ${\displaystyle z}$-nek.

Számítsuk ki ${\displaystyle {\sqrt{-8}}}$ összes lehetséges értékét! Korábban láttuk, hogy ${\displaystyle -8=8(\cos \pi +i\sin \pi ).}$ Ezért a lehetséges gyökök:

${\displaystyle {\sqrt{8}}\left(\cos {\dfrac {\pi }{4}}+i\sin {\dfrac {\pi }{4}}\right)={\sqrt{8}}\left({\dfrac {1}{\sqrt {2}}}+i{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt{2}}+{\sqrt{2}}i}$

${\displaystyle {\sqrt{8}}\left(\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {2\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {2\pi }{4}}\right)\right)={\sqrt{8}}\left(\cos {\dfrac {3\pi }{4}}+i\sin {\dfrac {3\pi }{4}}\right)=-{\sqrt{2}}+{\sqrt{2}}i}$

${\displaystyle {\sqrt{8}}\left(\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {4\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {4\pi }{4}}\right)\right)={\sqrt{8}}\left(\cos {\dfrac {5\pi }{4}}+i\sin {\dfrac {5\pi }{4}}\right)=-{\sqrt{2}}-{\sqrt{2}}i}$

${\displaystyle {\sqrt{8}}\left(\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {6\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {6\pi }{4}}\right)\right)={\sqrt{8}}\left(\cos {\dfrac {7\pi }{4}}+i\sin {\dfrac {7\pi }{4}}\right)={\sqrt{2}}-{\sqrt{2}}i}$

• angol: finding the root of a complex number (en)