hiperkocka

• IPA:

hiperkocka

1. (matematika, gráfelmélet)

A hiperkocka az ${\displaystyle n}$-dimenziós tér általánosítása, amely a kocka ${\displaystyle n}$-dimenziós analógiája. A hiperkocka ${\displaystyle n}$-dimenzióban egy szabályos geometriai test, amelynek:

• Csúcsai: ${\displaystyle 2^{n}}$, amelyek megfelelnek az ${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$ bináris vektoroknak.
• Élei: Két csúcs között akkor van él, ha azok Hamming-távolsága pontosan 1.
• Lapjai: ${\displaystyle 2^{n-1}\times n}$ dimenziós hiperkockából állnak.

Egy ${\displaystyle n}$-dimenziós hiperkocka:

• Csúcsainak halmaza: ${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$, ahol minden csúcs egy ${\displaystyle n}$-dimenziós bináris vektor.
• Élek halmaza: Két csúcs között pontosan akkor van él, ha pontosan egy koordinátában térnek el.

1. Dimenziók száma: Egy ${\displaystyle n}$-dimenziós hiperkockának:

  $${\displaystyle {\text{Csúcsok száma: }}2^{n}}$$
  $${\displaystyle {\text{Élek száma: }}n\cdot 2^{n-1}}$$
  $${\displaystyle {\text{Lapok száma: }}2^{n-1}\cdot n}$$

2. Szimmetria:

A hiperkocka minden dimenzióban szimmetrikus, és minden csúcs ekvivalens.

3. Hamming-távolság:

A csúcsok közötti távolság (az élek száma) megegyezik a csúcsok között eltérő bitek számával.

4. Összefüggő gráf:

Az ${\displaystyle n}$-dimenziós hiperkocka mindig összefüggő, és minden csúcs pontosan ${\displaystyle n}$ szomszéddal rendelkezik.

• Csúcsok: ${\displaystyle \{0,1\}}$
• Élek: ${\displaystyle \{(0,1)\}}$
• Vizualizáció: Egy egyenes vonal.

• Csúcsok: ${\displaystyle \{00,01,10,11\}}$
• Élek:

$${\displaystyle E=\{(00,01),(00,10),(01,11),(10,11)\}}$$

• Vizualizáció: Egy négyzet.

• Csúcsok: ${\displaystyle \{000,001,010,011,100,101,110,111\}}$
• Élek: Két csúcs között akkor van él, ha Hamming-távolságuk 1.
• Vizualizáció: Egy kocka.

• Csúcsok: ${\displaystyle \{0000,0001,\dots ,1111\}}$
• Vizualizáció: A 3D-s kocka két példányának összekötésével ábrázolható, ahol minden csúcsot összekötünk a megfelelő párjával.

Az ${\displaystyle n}$-dimenziós hiperkocka csúcsai az ${\displaystyle n}$-hosszúságú bináris vektorok.

import itertools

def generate_hypercube_vertices(n):
    return 

# Példa: 3-dimenziós hiperkocka csúcsai
vertices = generate_hypercube_vertices(3)
print("Csúcsok:", vertices)

Az élek meghatározása a Hamming-távolság alapján történik.

def hamming_distance(a, b):
    return sum(x != y for x, y in zip(a, b))

def generate_hypercube_edges(vertices):
    edges = 
    for i, v1 in enumerate(vertices):
        for v2 in vertices:
            if hamming_distance(v1, v2) == 1:
                edges.append((v1, v2))
    return edges

# Példa: 3-dimenziós hiperkocka élei
edges = generate_hypercube_edges(vertices)
print("Élek:", edges)

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

def draw_hypercube(n):
    vertices = generate_hypercube_vertices(n)
    edges = generate_hypercube_edges(vertices)
    
    G = nx.Graph()
    G.add_nodes_from(vertices)
    G.add_edges_from(edges)
    
    pos = nx.spring_layout(G, seed=42)
    nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_color='lightblue', node_size=500)
    plt.show()

# 3-dimenziós hiperkocka rajzolása
draw_hypercube(3)

Az incidenciamátrix a csúcsok és élek közötti kapcsolatokat reprezentálja.

import numpy as np

def generate_incidence_matrix(vertices, edges):
    matrix = np.zeros((len(vertices), len(edges)), dtype=int)
    for j, edge in enumerate(edges):
        for i, vertex in enumerate(vertices):
            if vertex in edge:
                matrix = 1
    return matrix

# Példa: Incidenciamátrix 3-dimenziós hiperkockához
incidence_matrix = generate_incidence_matrix(vertices, edges)
print("Incidenciamátrix:\n", incidence_matrix)

1. Adathálózatok

   A hiperkockát használják párhuzamos feldolgozó rendszerek hálózati topológiájában.

   Hibajavító kódok

   A hiperkockák szerkezetére alapozott kódolási rendszerek segítenek a hibajavításban.

   Számítástechnikai modellezés

   Nagy dimenziós térben való problémák megoldására alkalmas struktúra.

   Grafikus modellek

   Adatkapcsolatok, például szociális hálózatok reprezentációjára használható.

A hiperkocka egy rendkívül szimmetrikus és erőteljes geometriai és gráfstruktúra. Matematikai egyszerűsége ellenére számos alkalmazási területen bizonyul hasznosnak, például adathálózatokban, párhuzamos rendszerekben és hibajavító algoritmusokban. Pythonban a hiperkocka könnyen generálható és vizualizálható, például a `NetworkX` könyvtár segítségével.

• angol: hypercube (en)
• német: Hyperwürfel (de)
• orosz: гиперкуб (ru) (giperkub)

• hiperkocka - Értelmező szótár (MEK)
• hiperkocka - Etimológiai szótár (UMIL)
• hiperkocka - Szótár.net (hu-hu)
• hiperkocka - DeepL (hu-de)
• hiperkocka - Яндекс (hu-ru)
• hiperkocka - Google (hu-en)
• hiperkocka - Helyesírási szótár (MTA)
• hiperkocka - Wikidata
• hiperkocka - Wikipédia (magyar)