history of mathematics (tsz. history of mathematicses)

1. (informatika) a matematika története

A matematika története egészen az őskorig vezethető vissza: az első számlálási módszerek nyomai mintegy 50 000 évvel ezelőttre datálhatók. A matematika fejlődése a gyakorlati igényekből indult — mérés, építészet, naptárkészítés, kereskedelem —, de idővel önálló tudománnyá vált. A különböző civilizációk hozzájárultak a matematika fejlődéséhez: az ókori Egyiptom, Babilon, Kína, India, az arab világ, Görögország, majd Európa a középkortól kezdve meghatározó szerepet játszottak e fejlődési folyamatban. Az alábbiakban áttekintjük a matematika történetének legfontosabb állomásait.

Az ókori Egyiptom praktikus matematikát művelt, melyet a mindennapi életben alkalmaztak: bérszámításra, gabonamennyiség kiszámítására, terület- és térfogatmérésre. Fő forrásaink a Rhind-papirusz, a Moszkvai papirusz, valamint az úgynevezett „bőrtekercs”.

Az egyiptomiak ismerték a négy alapműveletet. Az összeadás és kivonás alapvető módszereit használták, a szorzást ismételt duplázással, a osztást pedig ismételt felezéssel végezték. A törteket unitáris (alaptörtek) és 2/3-os formában írták le.

Az egyiptomiak meg tudtak oldani egyenleteket ismeretlenekkel, és számoltak a háromszögek, téglalapok, trapézok területével. A kör területének közelítésére a ${\textstyle (16/9)^{2}}$ értéket használták. Ismerték a négyszög alapú csonka piramis térfogatképletét is.

A bizonyítás fogalma azonban náluk nem volt jelen; inkább empirikus szabályokat alkalmaztak. Az egyiptomi számrendszer hieroglifákat használt, majd idővel áttértek a hieratikus írásra.

A babiloniak szexageszimális (hatvanas alapú) helyiértékes rendszert alkalmaztak. A fennmaradt 400 agyagtábla tanúsága szerint ismertek szorzótáblákat, reciprokokat, négyzeteket és köböket. Nem ismerték a nulla fogalmát teljes mértékben, de a hiányzó számértékek helyét a szövegösszefüggésből lehetett kikövetkeztetni.

Képesek voltak lineáris egyenletrendszereket, kamatos kamatszámítást végezni, és ismerték a négyzetgyökvonás algoritmusát (babiloni gyökvonás). A Püthagorasz-tételt is alkalmazták gyakorlati számításokban. A ${\textstyle \pi }$ értékét általában 3-ként vagy 3 + 1/8-ként közelítették.

A szigorú bizonyítás náluk sem volt cél; a hangsúly inkább a gyakorlati eredményeken volt.

A görög matematika fejlődése négy korszakra osztható:

1. Ión korszak (Kr. e. 600–400): Thalész, Püthagorasz és társaik lefektették a geometriai és aritmetikai alapokat.
2. Athéni korszak (Kr. e. 400–300): Platón és Arisztotelész kidolgozták a logikai bizonyítás módszerét, Eudoxos az exhausztiós módszert.
3. Alexandriai korszak (Kr. e. 300–200): Eukleidész az Elemeiben rendszerezte a geometriai ismereteket, Archimédész az integrálás előfutára volt.
4. Késői korszak (Kr. e. 200–Kr. u. 300): Diophantosz megalapozta a diofantikus algebra módszereit.

A görögök a matematikát filozófiai alapon, absztrakt tudományként művelték, különösen hangsúlyozva a logikus bizonyítást. Eukleidész bizonyította például, hogy végtelen sok prímszám létezik.

Arkhimédész az infinitézimális módszereket továbbfejlesztette, és pontos közelítést adott ${\textstyle \pi }$-re. A görögök logikai rendszert alkottak: Arisztotelész a formális logika alapjait fektette le.

A rómaiak inkább praktikus célokra alkalmazták a matematikát (földmérés, építészet), és kevésbé járultak hozzá az elméleti fejlődéshez.

A legrégebbi kínai matematikai mű a Zhoubi suanjing. A Jiu Zhang Suanshu („A matematikai művészet kilenc fejezete”) tartalmazza a Püthagorasz-tételt, és számos geometriai, algebrai és aritmetikai eljárást.

A kínaiak tízes alapú helyiértékes rendszert használtak. Liu Hui közelítette ${\textstyle \pi }$ értékét 3,14159-re. A kínai algebra csúcspontját Zhu Shijie érte el a 14. században, de később a matematika fejlődése megtorpant.

Az indiai matematika az áldozati oltárok építési szabályaiból fejlődött ki (Sulba-szútrák). Az indiaiak fejlesztették ki a tízes helyiértékes írásmódot, beleértve a nulla használatát is.

Árjabhata, Brahmagupta és Bhaskara II nagyban hozzájárultak az algebra, trigonometria és számelmélet fejlődéséhez. Az indiai zérójelölés az arab közvetítéssel jutott el Európába.

A Bagdadi kalifátus központi szerepet játszott a matematika fejlődésében. Az arab matematikusok átvették az indiai helyiértékes rendszert, továbbfejlesztették a görög geometriát és a trigonometria módszereit.

Al-Khwarizmi könyveiben található meg az algoritmus és az algebra elnevezés eredete. Alhazen hozzájárult a geometriai optika fejlődéséhez, míg Omar Khayyam a köbös egyenletek megoldásait vizsgálta.

Az arab tudás Spanyolországon és Olaszországon keresztül terjedt el Európában.

A Nyugat-Római Birodalom bukása után a matematikai tudás nagyrészt a kolostorokban maradt fenn. A korai középkor során a matematikát a kvadrívium részeként tanították: aritmetika, geometria, asztronómia és zene.

Boëthius művei képezték az aritmetika és geometria oktatásának alapját évszázadokon keresztül. A karoling reneszánsz idején Alkuin és Rabanus Maurus új lendületet adtak az oktatásnak.

A húsvét időpontjának kiszámítása (komputisztika) fontos matematikai problémát jelentett: ez ösztönözte a naptárszámítás és a számelméleti ismeretek fejlődését.

A XI–XII. században a klasztikus iskolák mellett megjelentek a székesegyházi iskolák és az első egyetemek (Párizs, Oxford). Ekkoriban számos arab matematikai művet fordítottak latinra, különösen a toledói fordítóműhelyben.

Roger Bacon hangsúlyozta a kísérleti módszer fontosságát és a matematika alapvető szerepét a tudományokban.

Nikolaus von Oresme a mozgások elemzésében új szemléletet vezetett be: a változó intenzitásokat grafikonok segítségével ábrázolta — ez a funkcionális elemzés kezdetét jelentette.

William Ockham elve („Ockham borotvája”) a gazdaságos magyarázat elvét rögzítette: az egyszerűbb elméletek előnyben részesítendők.

A gótikus katedrálisok építése során bonyolult statikai és geometriai problémákat kellett megoldani. Villard de Honnecourt építészeti jegyzetei tanúsítják a korszak matematikai tudását.

A kereskedelmi fejlődés új igényeket támasztott a matematikával szemben: a pénzgazdaság elterjedésével a kamat és a számviteli eljárások kerültek előtérbe. Fibonacci (Leonardo da Pisa) Liber Abaci című műve terjesztette el az arab számjegyeket és az arab-indiai számrendszert Nyugat-Európában.

A reneszánsz idején az arab és indiai eredetű tudás nyomtatott könyvek révén széles körben terjedt.

A perspektíva matematikai alapjait művészek (pl. Brunelleschi, Alberti) dolgozták ki. Ezzel párhuzamosan fejlődött a projektív geometria (pl. Desargues).

A navigáció és a térképészet is előrehaladt, például a hosszúsági fok problémájának megoldásához fejlesztettek új módszereket.

A logaritmusok feltalálása (John Napier, Jost Bürgi) forradalmasította a számolást.

François Viète bevezette az általános betűjelölést az egyenletekben, megalapozva a modern algebrát.

Fermat és Pascal közös munkája a valószínűségszámítás megszületéséhez vezetett. Pascal egyúttal a kombinatorika egyik megalapítója volt (pl. Pascal-háromszög).

Fermat híres sejtése — miszerint az ${\textstyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ egyenletnek nincs egész megoldása ${\textstyle n\geq 3}$ esetén — évszázadokig foglalkoztatta a matematikusokat.

Cardano, Tartaglia és Ferrari kidolgozták a harmad- és negyedfokú egyenletek megoldási képleteit.

A XVII. században a differenciál- és integrálszámítás (analysis) alapjait Newton és Leibniz fektették le egymástól függetlenül.

Newton a fluxiók elméletében a mozgások sebességét vizsgálta, Leibniz pedig a differenciál és integrál jelölésrendszerét vezette be.

A két tudós között prioritásviták is fellángoltak.

A differenciál- és integrálszámítás révén a fizikai világ pontosabb modellezése vált lehetővé (Newton: Principia Mathematica).

A differenciálszámítás és az analízis módszereit tovább fejlesztették. Bár a matematikai szigor ekkor még nem volt teljes, Leonhard Euler hatalmas eredményeket ért el:

• modern szimbolika,
• komplex számok (bevezette az ${\textstyle i}$ jelölést),
• topológiai szemlélet (pl. konigsbergi hidak problémája),
• Zéta-függvény és a prímszámok kapcsolata.

A variációszámítás (pl. Lagrange, d’Alembert) fejlődése a mechanika számára is fontos volt.

A valószínűségszámítás (Bernoulli, Laplace, Bayes) is kibővült.

Cauchy bevezette az ${\textstyle \varepsilon }$-${\textstyle \delta }$ fogalmakat a határérték pontos meghatározására.

A speciális függvények tanulmányozása előtérbe került (elliptikus függvények, Riemann-felületek).

Galois kidolgozta a Galois-elméletet, amely megmutatta, hogy ötödfokú vagy magasabb fokszámú polinomok általában nem oldhatók meg gyökelemekkel.

A nemeuklideszi geometria (Lobacsevszkij, Bolyai) megkérdőjelezte az Euklideszi axiómák kizárólagosságát.

Dedekind, Kronecker, Lie, Cayley és mások hozzájárultak a modern algebrai struktúrák (pl. csoportok, gyűrűk, testek) kidolgozásához.

A differenciálgeometria fejlődése (Gauss, Riemann) később kulcsszerepet játszott a relativitáselmélet alapozásában.

Cantor kidolgozta a mennyiségtan alapjait és a halmazelméletet, megmutatva, hogy többféle végtelen is létezik.

Hilbert 1900-ban kitűzte híres 23 problémáját, amelyek irányt adtak a matematikai kutatásoknak.

A halmazelmélet (Zermelo–Fraenkel-axiómák) révén sikerült megalapozni a matematika formális struktúráját.

Gödel nemteljességi tétele azonban megmutatta, hogy bizonyos kijelentések sem nem bizonyíthatók, sem nem cáfolhatók.

A funkcionálanalízis (Banach, Hilbert) új megközelítést adott az analízis végtelen dimenziós tereinek vizsgálatára.

A topológia fejlődése (Poincaré) alapot teremtett a modern geometriai szemlélethez.

A számítógépek megjelenése (Turing, von Neumann) forradalmasította a numerikus módszereket és a kriptográfiát.

A valószínűségszámítás és a statisztika (Kolmogorov, Fisher) megalapozták a modern adattudományt.

A XX. században számos régi probléma oldódott meg:

• Fermat nagy tétele (Andrew Wiles),
• Poincaré-sejtés (Perelman),
• négy szín probléma (számítógépes bizonyítással).

A modern algebrai geometria (Grothendieck) és a kategoriateória további elmélyülést hozott.

A matematika és a fizika (pl. szuperhúrok, Lie-csoportok) kapcsolata ma is számos új kutatási irányt szül.

A matematika története az őskori számlálástól a kortárs magas szintű absztrakciókig és alkalmazásokig vezetett. A matematika ma már nélkülözhetetlen a technológia, a természettudományok, a mérnöki tudományok, sőt a közgazdaságtan és a társadalomtudományok területén is. Fejlődése töretlen: a jövő matematikáját pedig a mesterséges intelligencia, a kvantuminformatika és a globális tudományos együttműködések fogják tovább gazdagítani.

• history of mathematics - Szótár.net (en-hu)
• history of mathematics - Sztaki (en-hu)
• history of mathematics - Merriam–Webster
• history of mathematics - Cambridge
• history of mathematics - WordNet
• history of mathematics - Яндекс (en-ru)
• history of mathematics - Google (en-hu)
• history of mathematics - Wikidata
• history of mathematics - Wikipédia (angol)