iterative method

iterative method (tsz. iterative methods)

1. (informatika) Az iterative method (iteratív módszer) olyan problémamegoldó eljárás, amely a megoldást lépésről lépésre, egymásra épülő közelítésekkel keresi. Ahelyett, hogy egyszerre adnánk meg a pontos megoldást (mint sok direkt módszernél), az iteratív eljárás fokozatosan javítja a becslést, amíg el nem ér egy megadott pontosságot vagy le nem áll egy megszakítási feltétel miatt.

Az iteratív módszereket széles körben alkalmazzák:

• Numerikus analízisben (egyenletrendszerek megoldása)
• Optimalizálásban
• Gépi tanulásban (pl. gradiens alapú módszerek)
• Számítógépes grafikában
• Differenciálegyenletek megoldásánál

• Iteráció: egy lépés a folyamatban, amikor az aktuális megoldást egy új közelítéssel helyettesítjük.
• Kezdeti becslés (initial guess): az induló érték, amiből elindul a folyamat.
• Konvergencia: amikor az iterációk közelednek egy stabil (remélhetőleg jó) megoldáshoz.
• Megállási feltétel (stopping condition): az a feltétel, ami alapján megállítjuk az iterációt (pl. a változás már nagyon kicsi).

1. Kezdd egy x₀ kezdeti közelítéssel
2. Ismételd:
   • xₙ₊₁ = f(xₙ)
3. Amíg:
   • |xₙ₊₁ - xₙ| < ε (egy tetszőleges kis érték, az ún. tolerancia)

Nemlineáris egyenletek gyökeinek keresésére:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$

• Gyorsan konvergál, ha a kezdeti érték jó
• Függ a derivált értékétől

Lineáris egyenletrendszerek iteratív megoldására:

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right)}$

• Párhuzamosan is futtatható
• Konvergenciája nem mindig garantált

Folytonos optimalizálási problémákra:

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-\alpha _{k}\nabla f(x_{k})}$

• A ∇f(x_k) a gradiens, az irány, amerre csökkenteni kell az értéket
• A α_k a lépésméret

✅ Nagy méretű problémák esetén is alkalmazhatók ✅ Memóriatakarékosabbak, mint direkt módszerek ✅ Finoman szabályozhatók (pontosság, lépések száma) ✅ Párhuzamosításra alkalmasak (pl. Jacobi-módszer)

❌ Lassabb konvergencia, mint a direkt módszereknél ❌ Konvergencia nem garantált, főleg rossz kezdőérték esetén ❌ Bonyolult lehet a paraméterek (pl. lépésméret) hangolása

• Gépi tanulás: a tanítási algoritmusok többsége (pl. backpropagation, SGD) iteratív
• Számítógépes grafika: Ray tracing, radiosity megoldások
• Fizika, mérnöki tudományok: differenciálegyenletek megoldása időlépésekben
• Optimalizálás: lineáris, nemlineáris és kombinatorikus problémák megoldása

x = x0
for k in range(max_iter):
    x_new = f(x)
    if abs(x_new - x) < epsilon:
        break
    x = x_new
return x

def newton_raphson(f, df, x0, tol=1e-6, max_iter=100):
    x = x0
    for _ in range(max_iter):
        x_new = x - f(x)/df(x)
        if abs(x_new - x) < tol:
            return x_new
        x = x_new
    return x

A modern iteratív módszerek (pl. Conjugate Gradient, GMRES, BFGS) fejlettebb technikák, amelyek gyorsabban konvergálnak vagy jobban alkalmazhatók ritka mátrixokra.

Az iterative method egy kulcsfontosságú technika nagyméretű, összetett problémák hatékony megoldására. Bár nem garantálnak mindig pontos választ, rugalmas paraméterezhetőségük, skálázhatóságuk és alkalmazhatóságuk miatt elengedhetetlenek a modern számítási módszerek világában.

• iterative method - Szótár.net (en-hu)
• iterative method - Sztaki (en-hu)
• iterative method - Merriam–Webster
• iterative method - Cambridge
• iterative method - WordNet
• iterative method - Яндекс (en-ru)
• iterative method - Google (en-hu)
• iterative method - Wikidata
• iterative method - Wikipédia (angol)