komplex konjugált

• IPA:

komplex konjugált A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a ${\displaystyle z=a+ib\,}$ komplex szám (ahol ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ valós számok) konjugáltja ${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib.\,}$ A komplex konjugáltat időnként ${\displaystyle z^{*}\,}$-gal jelölik. A továbbiakban a jelölés ${\displaystyle {\bar {z}}}$ lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélés. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot ${\displaystyle 1\times 1}$-es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például ${\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}$, ${\displaystyle {\overline {i}}=-i}$ és ${\displaystyle {\overline {7}}=7}$. A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-koordinátarendszerben az ${\displaystyle x}$-tengely tartalmazza a valós számokat, az ${\displaystyle y}$-tengely pedig az ${\displaystyle i}$ többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az ${\displaystyle re^{i\phi }\,}$ konjugáltja ${\displaystyle re^{-i\phi }\,}$. Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

Trigonometrikus alakban: Tetszőleges ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ és ${\displaystyle w=s(\cos \psi +i\sin \psi )}$ nem 0 komplex számokra ${\displaystyle {\bar {z}}=r(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi ))}$

• ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$
• ${\displaystyle {\overline {\dfrac {z_{1}}{z_{2}}}}={\dfrac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}}$
• ${\displaystyle z={\overline {z}}}$ akkor és csak akkor, ha ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle z+{\overline {z}}=2\mathrm {Re} \ z,\quad z-{\overline {z}}=(2\mathrm {Im} \ z)i}$
• ${\displaystyle z{\overline {z}}=x^{2}+y^{2}}$

A komplex konjugált jelölését használva tehát a komplex számok hányadosát az alábbi módon számolhatjuk ki:

• ${\displaystyle {\dfrac {z_{1}}{z_{2}}}={\dfrac {z_{1}{\overline {z_{2}}}}{z_{2}{\overline {z_{2}}}}}={\dfrac {z_{1}{\overline {z_{2}}}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}$

• angol: complex conjugate (en)
• angol: komplex Konjugierte (en)