komplex szám trigonometrikus alakja

• IPA:

komplex szám trigonometrikus alakja

1. (matematika) A ${\displaystyle z=a+bi}$ komplex szám felírható ${\displaystyle z=r\cdot (\cos \,\varphi +i\!\cdot \!\sin \,\varphi )}$ alakban, ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott argumentum. Ekkor persze

   ${\displaystyle a=r\,\cos \,\varphi }$ és

   ${\displaystyle b=r\,\sin \,\varphi }$.

A fordított reláció a sugarat ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki:

${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Tetszőleges ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ és ${\displaystyle w=s(\cos \psi +i\sin \psi )}$ nem 0 komplex számokra

• ${\displaystyle {\overline {z}}=r(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi ))}$
• ${\displaystyle zw=rs(\cos(\varphi +\psi )+i\sin(\varphi +\psi ))}$
• ${\displaystyle {\dfrac {z}{w}}={\dfrac {r}{s}}(\cos(\varphi -\psi )+i\sin(\varphi -\psi ))}$
• ${\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi ))}$ minden ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$-re
• Legyen ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ),n\in \mathbb {N} .}$ Ekkor ${\displaystyle {\sqrt{z}}={\sqrt{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi +2k\pi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi +2k\pi }{n}}\right),\quad k=0,1,\ldots ,n-1}$
• angol: trigonometric form of a complex number (en), polar form (en)