lineáris optimalizálás

• IPA:

lineáris optimalizálás

1. (matematika, lineáris algebra, operációkutatás) A lineáris optimalizálás a lineáris algebra egy ága, 1940 után fejlődött ki az elektronikus számítástechnikával együtt.

   Szinonima: lineáris programozás

A lineáris optimalizálás (vagy lineáris programozás) egy matematikai módszer, amelyet arra használnak, hogy egy adott célfüggvényt optimalizáljanak (maximumra vagy minimumra hozzanak), miközben bizonyos lineáris feltételeknek (korlátozásoknak) eleget tesznek. Ez az egyik legszélesebb körben alkalmazott optimalizálási módszer, mivel viszonylag egyszerű megfogalmazást igényel, és hatékony algoritmusok állnak rendelkezésre a megoldására.

1. Döntési változók: Azok a változók, amelyeket optimalizálni szeretnénk, és amelyek meghatározzák a megoldást.
2. Célfüggvény: Az a lineáris kifejezés, amelyet maximalizálni vagy minimalizálni szeretnénk, például profit, költség vagy idő.
3. Korlátozások: Egyenlőtlenségek vagy egyenletek, amelyek leírják a rendszer korlátait, például erőforrások rendelkezésre állását vagy fizikai határokat.
4. Megengedett tartomány: Az a halmaz, amelyben a korlátozások teljesülnek; ezt a térbeli modellben poliéderként lehet elképzelni.

Egy tipikus lineáris optimalizálási probléma formális alakja:

${\displaystyle {\text{Maximalizáljuk: }}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n}}$

${\displaystyle {\text{Korlátozások: }}{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&\leq b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&\leq b_{2}\\&\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}&\leq b_{m}\end{aligned}}}$

${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\geq 0}$

A lineáris optimalizálási probléma geometriailag úgy tekinthető, hogy a korlátozások által meghatározott poliéderben keresünk egy olyan pontot, amely maximalizálja vagy minimalizálja a célfüggvényt. A megoldás mindig a poliéder egy csúcsán helyezkedik el (ha létezik megoldás).

• A legszélesebb körben használt algoritmus a lineáris optimalizálási problémák megoldására.
• Lényege, hogy a megengedett tartomány csúcsain „lépkedve” keresi meg az optimális pontot.
• Nagyon hatékony gyakorlatban, bár elméletileg léteznek olyan problémák, amelyeknél exponenciális időre lenne szükség.

• Ezek az algoritmusok nem a poliéder csúcsain haladnak, hanem a belsejében mozognak.
• Különösen nagy dimenziójú problémák esetén hatékonyak.

• Ha a lineáris optimalizálásban diszkrét változók is vannak (pl. egészértékű programozás), akkor gyakran alkalmazzák ezt az eljárást.

1. Ellátási lánc optimalizálása: Egy vállalat minimalizálni szeretné a szállítási költségeket, miközben biztosítja, hogy az igények minden raktárban teljesüljenek.
2. Termelési tervezés: Egy gyár optimalizálni kívánja a nyersanyagok felhasználását, hogy maximalizálja a nyereséget.
3. Hálózati forgalom kezelése: Az internetes forgalmat úgy kell irányítani, hogy minimalizáljuk a késleltetést vagy maximalizáljuk az átviteli kapacitást.
4. Portfólió optimalizálás: Egy befektetési alap kezelője maximalizálni kívánja a hozamot, miközben korlátozza a kockázatot.

• Egészértékű programozás (Integer Programming): A döntési változóknak egész értékeket kell felvenniük.
• Vegyes egészértékű programozás (Mixed-Integer Programming): Egyes változók egész értékűek, míg mások folytonosak.
• Nemlineáris programozás (Nonlinear Programming): Ha a célfüggvény vagy a korlátozások nem lineárisak, akkor nemlineáris optimalizálásra van szükség.

Képzeljük el, hogy egy gyár két terméket (A és B) állít elő, és optimalizálni szeretné a nyereséget.

• Célfüggvény: Maximalizáljuk a profitot, amely ${\displaystyle 5x_{1}+4x_{2}}$, ahol ${\displaystyle x_{1}}$ az A termék mennyisége, ${\displaystyle x_{2}}$ pedig a B terméké.
• Korlátozások:

 1. ${\displaystyle 2x_{1}+x_{2}\leq 100}$ (munkaidő korlát)
 2. ${\displaystyle x_{1}+3x_{2}\leq 90}$ (nyersanyag korlát)
 3. ${\displaystyle x_{1},x_{2}\geq 0}$.

Ezt a problémát könnyedén meg lehet oldani szimplex módszerrel vagy szoftverek, mint például a Python (PuLP vagy SciPy), MATLAB, R vagy Excel Solver segítségével.

A lineáris optimalizálási problémák megoldására számos eszköz áll rendelkezésre:

• Python: Könyvtárak, mint a PuLP, Gurobi, vagy CPLEX.
• MATLAB: Beépített funkciók a lineáris programozásra.
• Excel Solver: Egyszerűbb problémákhoz.
• R: lpSolve csomag.

• Gyors megoldás nagy problémákra is.
• Egyszerű modell, amely sok valós problémát leír.
• Alkalmazások széles köre.

• Csak lineáris kapcsolatokat kezel.
• Ha a korlátozások nem konvexek, nem garantált a megoldás.
• Nagyon nagy problémák esetén a számítási költség még mindig jelentős lehet.

• angol: linear optimization (en), linear programming (en)
• német: lineare Programmierung (de), lineare Optimierung (de)

• lineáris optimalizálás - Értelmező szótár (MEK)
• lineáris optimalizálás - Etimológiai szótár (UMIL)
• lineáris optimalizálás - Szótár.net (hu-hu)
• lineáris optimalizálás - DeepL (hu-de)
• lineáris optimalizálás - Яндекс (hu-ru)
• lineáris optimalizálás - Google (hu-en)
• lineáris optimalizálás - Helyesírási szótár (MTA)
• lineáris optimalizálás - Wikidata
• lineáris optimalizálás - Wikipédia (magyar)