linear algebra

linear algebra (tsz. linear algebras)

1. (informatika) lineáris algebra

A lineáris algebra a matematika azon ága, amely vektorokkal, mátrixokkal, lineáris egyenletrendszerekkel, és azok transzformációival foglalkozik. Alapvető fontosságú az informatikában, fizikában, gépi tanulásban, grafikában és sok más területen.

• Egy irányított mennyiség, több dimenzióban.

• Példa:

  $${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}}$$

• Téglalap alakú számhalmaz, sorok és oszlopok szerint rendezve.

• Példa:

  $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$$

• Egyetlen szám (pl. 5, -2, π).

• Összeadás, kivonás:

  $${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}}}$$

• Skalárral szorzás:

  $${\displaystyle 2\cdot {\vec {a}}=2\cdot {\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix}}}$$

• Mátrixok összeadása/kivonása: csak ha azonos méretűek

• Mátrixszorzás:

  $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}=11}$$

• Transzponálás: sorból oszlop lesz

• Inverz (ha létezik): ${\textstyle A^{-1}}$

Általános forma:

$${\displaystyle A\cdot {\vec {x}}={\vec {b}}}$$

Példa:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\11\end{bmatrix}}}$$

1. Gauss-elimináció – lépésenként sorátalakítás
2. Gauss–Jordan elimináció – teljes redukált mátrixformáig megy
3. Inverz mátrix módszer – ha ${\textstyle A\cdot x=b}$, akkor ${\textstyle x=A^{-1}\cdot b}$
4. Cramer-szabály – determinánsokkal

Oldjuk meg:

$${\displaystyle {\begin{cases}x+2y=5\\3x+4y=11\end{cases}}}$$

Lépések:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&|&5\\3&4&|&11\end{bmatrix}}}$$

2. Alakítsuk: második sorból kivonjuk 3×első sort

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&|&5\\0&-2&|&-4\end{bmatrix}}}$$

3. Második egyenletből: ${\textstyle y=2}$, majd visszahelyettesítés → ${\textstyle x=1}$

• linear algebra - Szótár.net (en-hu)
• linear algebra - Sztaki (en-hu)
• linear algebra - Merriam–Webster
• linear algebra - Cambridge
• linear algebra - WordNet
• linear algebra - Яндекс (en-ru)
• linear algebra - Google (en-hu)
• linear algebra - Wikidata
• linear algebra - Wikipédia (angol)