logikai szitaformula

• IPA:

logikai szitaformula

1. (matematika, kombinatorika, halmazelmélet) A logikai szitaformula egy alapvető tétel a valószínűségszámításban és kombinatorikában, amely lehetővé teszi több esemény uniójának valószínűségének kiszámítását az egyes események valószínűségeinek és azok átfedéseinek figyelembevételével.

Inklúzió-exklúzió elve (Logikai szitaformula)

Két esemény ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ esetén az unió valószínűsége így számítható:

$${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$$

Három esemény ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$ és ${\textstyle C}$ esetén a logikai szitaformula a következőképpen alakul:

$${\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)}$$

Ez a formula úgy működik, hogy hozzáadjuk az egyes események valószínűségeit, kivonjuk a páronkénti metszetek valószínűségeit (mivel ezek kétszer szerepeltek a hozzáadás során), majd hozzáadjuk a három esemény közös metszetének valószínűségét (mivel azt túl sokszor vontuk ki).

Általános alak (n eseményre)

Ha ${\textstyle n}$ esemény van (${\textstyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$), az inklúzió-exklúzió elve általánosítható:

$${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})-\sum _{1\leq i<j\leq n}P(A_{i}\cap A_{j})+\sum _{1\leq i<j<k\leq n}P(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})-\dots +(-1)^{n+1}P(A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{n})}$$

Ez a tétel különösen hasznos több esemény átfedésének kezelésekor, hogy elkerüljük a többszörös számolást.

Példa

Tegyük fel, hogy szeretnéd kiszámítani annak a valószínűségét, hogy egy dobókockával dobott szám 1, 2 vagy 3 lesz. Az események:

• ${\textstyle A}$: "1-est dobtam",
• ${\textstyle B}$: "2-est dobtam",
• ${\textstyle C}$: "3-ast dobtam".

Mivel ezek az események egymást kizárják (egy dobás során egyszerre csak egy szám jöhet ki), a szitaformula leegyszerűsödik:

$${\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {3}{6}}=0.5}$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy 1-est, 2-est vagy 3-ast dobunk, 0,5.

A logikai szitaformula bonyolultabb esetekben, ahol több esemény átfedi egymást, különösen hasznos eszköz.

• angol: inclusion-exclusion principle (en), principle of inclusion and exclusion (en)
• német: Prinzip von Inklusion und Exklusion (de)

• logikai szitaformula - Értelmező szótár (MEK)
• logikai szitaformula - Etimológiai szótár (UMIL)
• logikai szitaformula - Szótár.net (hu-hu)
• logikai szitaformula - DeepL (hu-de)
• logikai szitaformula - Яндекс (hu-ru)
• logikai szitaformula - Google (hu-en)
• logikai szitaformula - Helyesírási szótár (MTA)
• logikai szitaformula - Wikidata
• logikai szitaformula - Wikipédia (magyar)