mértékelmélet

• IPA:

mértékelmélet

1. (matematika) A mértékelmélet a modern matematikának egy olyan ága, amely a halmazokra és azok részhalmazaira vonatkozó mértékek (angolul "measure") bevezetésével foglalkozik. A mérték fogalmát leggyakrabban területek, hosszok, térfogatok általánosítására használják, de a mértékelmélet ennél sokkal tágabb keretek között alkalmazható, és az analízis, a valószínűségelmélet, valamint a funkcionálanalízis alapját is képezi.

Alapfogalmak: 1. Mértéktér: Egy ${\textstyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ hármas, ahol: - ${\textstyle X}$ egy nem üres halmaz (az ún. "alaphalmaz"), - ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ egy halmazrendszer (σ-algebra), amely ${\textstyle X}$ részhalmazait tartalmazza, és amelyekre mértéket definiálunk, - ${\textstyle \mu }$ egy mérték, amely minden ${\textstyle A\in {\mathcal {A}}}$-ra egy nemnegatív számot rendel, vagyis ${\textstyle \mu :{\mathcal {A}}\to }$.

2. Mérték: Egy funkció, amely teljesíti a következő tulajdonságokat: - Nemnegatív: ${\textstyle \mu (A)\geq 0}$ minden ${\textstyle A\in {\mathcal {A}}}$-ra. - Nullmértékű halmaz: Ha ${\textstyle A=\emptyset }$, akkor ${\textstyle \mu (A)=0}$. - σ-additivitás: Ha ${\textstyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ egymást kizáró halmazok, akkor ${\textstyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$.

Fontos példák: 1. Lebesgue-mérték: Az egyik legfontosabb mérték az ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ térben, amely általánosítja a klasszikus terület- és térfogatszámítást. 2. Dirac-mérték: Egy mérték, amely egyetlen pont súlyát adja meg. Például egy pontszerű részecske helyét modellezi a térben.

Alkalmazások: - Valószínűségelmélet: A valószínűségi eloszlások mértékekkel írhatók le, ahol az alaphalmaz események halmazából áll, a mérték pedig a valószínűséget reprezentálja. - Integrálelmélet: A Lebesgue-integrál fogalma mértékelméleti alapokon nyugszik, lehetővé téve a függvények szélesebb osztályainak integrálását. - Fizika: Fizikai rendszerekben az energia, tömeg, és egyéb mennyiségek mértékeinek kiszámításában is alkalmazható.

A mértékelmélet tehát alapvető szerepet játszik a matematikában és annak alkalmazásaiban, különösen a valószínűségelmélet, analízis és a matematika több ágában.

• mértékelmélet - Értelmező szótár (MEK)
• mértékelmélet - Etimológiai szótár (UMIL)
• mértékelmélet - Szótár.net (hu-hu)
• mértékelmélet - DeepL (hu-de)
• mértékelmélet - Яндекс (hu-ru)
• mértékelmélet - Google (hu-en)
• mértékelmélet - Helyesírási szótár (MTA)
• mértékelmélet - Wikidata
• mértékelmélet - Wikipédia (magyar)