mértani sorozat

Üdvözlöm, Ön a mértani sorozat szó jelentését keresi. A DICTIOUS-ban nem csak a mértani sorozat szó összes szótári jelentését megtalálod, hanem megismerheted az etimológiáját, a jellemzőit és azt is, hogyan kell a mértani sorozat szót egyes és többes számban mondani. Minden, amit a mértani sorozat szóról tudni kell, itt található. A mértani sorozat szó meghatározása segít abban, hogy pontosabban és helyesebben fogalmazz, amikor beszélsz vagy írsz. Amértani sorozat és más szavak definíciójának ismerete gazdagítja a szókincsedet, és több és jobb nyelvi forráshoz juttat.

Kiejtés

  • IPA:

Főnév

mértani sorozat

  1. (matematika) Olyan számsorozat, melyben a szomszédos tagok hányadosa (nullától különböző) állandó. Általános alakja ahol a és q tetszőleges, nemnulla számok. Például a 81, -27, 9, -3, 1 számok egy hányadosú mértani sorozat tagjai. Legyen a sorozat -edik tagja . Ekkor: vagy ahol . Ez utóbbi azt is jelenti, hogy a mértani sorozat -edik tagja az -edik és az -edik tagjának a mértani közepe.

A mértani sorozat (más néven geometriai sorozat) a matematika egyik alapvető sorozattípusa, amelyben az egymást követő elemek hányadosa állandó. Ez a hányados a kvóciens, és a sorozat minden elemét az előző elem megszorzásával kapjuk meg.


1. Mértani sorozat definíciója

Egy sorozat akkor mértani sorozat, ha minden elem és az azt követő elem hányadosa állandó: ahol:

  • : a sorozat első eleme (),
  • : a mértani sorozat kvóciense ().

A sorozat általános -edik tagja:


2. Példák mértani sorozatra

Egyszerű példák:

  1. , :

: Sorozat: .

  1. , :

: Sorozat: .

Reális példák:

  1. Kamatos kamat:

Ha a kezdőtőkét () évente -szeresére növeljük (például az 5%-os kamat esetén), akkor a -edik évben a tőke:

  1. Fertőzések terjedése:

Ha egy fertőző betegség naponta -szeresére nő, akkor a -edik napon fertőzöttek száma:

  1. Sugárzás lebomlása:

Radioaktív anyagok esetében a sugárzás intenzitása csökken, például , azaz feleződési idővel.


3. Mértani sorozat összegképlete

Összeg véges sorozat esetén:

A mértani sorozat első tagjának összege () az alábbi képlettel számítható: Ha , akkor a sorozat elemei azonosak, így az összeg:

Példa:

  1. , , :

Összeg végtelen sorozat esetén:

Ha a kvóciens abszolút értéke kisebb 1-nél (), akkor a végtelen mértani sorozat összege konvergens, és az alábbi képlettel számítható:

Példa:

  1. , :


4. Mértani sorozatok tulajdonságai

Növekedés vagy csökkenés:

  1. Ha : a sorozat növekvő.
  2. Ha : a sorozat csökkenő.
  3. Ha : a sorozat elemei váltakoznak előjelesen, de abszolút értékük csökken.
  4. Ha : a sorozat elemei váltakoznak előjelesen, de abszolút értékük növekszik.

Tartományok:

  • A sorozat elemeinek előjele a kvócienstől függ:
  • Ha : minden elem azonos előjelű.
  • Ha : az elemek előjele váltakozik.

Harmónikus közép és szorzat:

  1. Ha egy mértani sorozat három egymást követő tagja , akkor:

Ez az elemek mértani középének tulajdonsága.


5. Kapcsolat az exponenciális növekedéssel

A mértani sorozatok szoros kapcsolatban állnak az exponenciális növekedéssel, mert a sorozat -edik tagja: ahol az alap () konstans, és a kitevő () a változó.

Ezért a mértani sorozatok modellezik azokat a jelenségeket, amelyek exponenciális növekedést vagy csökkenést mutatnak, például:

  • Kamatos kamat,
  • Populációnövekedés,
  • Radioaktív bomlás.

6. Mértani sorozat és valószínűségszámítás

A valószínűségszámításban a geometriai eloszlás a mértani sorozaton alapul. Egy esemény -adik bekövetkezésének valószínűsége: ahol az esemény valószínűsége, pedig a kudarcos próbálkozások valószínűsége.

Ez egy mértani sorozat, ahol az első tag , és a kvóciens .


7. Történelmi háttér

A mértani sorozatok vizsgálata az ókori görög matematikusokig nyúlik vissza. A Püthagoreusok fedezték fel a mértani közepet, és alkalmazták zenei skálák és arányok vizsgálatára. Az újkori matematikában a sorozatok széles körű alkalmazást nyertek a gazdasági modellekben, a fizikában és a valószínűségszámításban.


8. Gyakorlati alkalmazások

  1. Pénzügyek:
  • Kamatos kamatszámítás.
  • Törlesztőrészletek kiszámítása.
  1. Fizika:
  • Radioaktív bomlás.
  • Hullámok amplitúdójának csökken



Fordítások

Etimológia

mértani + sorozat