szó jelentését keresi. A DICTIOUS-ban nem csak a
szó összes szótári jelentését megtalálod, hanem megismerheted az etimológiáját, a jellemzőit és azt is, hogyan kell a
szót egyes és többes számban mondani. Minden, amit a
szóról tudni kell, itt található. A
szó meghatározása segít abban, hogy pontosabban és helyesebben fogalmazz, amikor beszélsz vagy írsz. A
és más szavak definíciójának ismerete gazdagítja a szókincsedet, és több és jobb nyelvi forráshoz juttat.
Kiejtés
Főnév
mértani sorozat
- (matematika) Olyan számsorozat, melyben a szomszédos tagok hányadosa (nullától különböző) állandó. Általános alakja ahol a és q tetszőleges, nemnulla számok. Például a 81, -27, 9, -3, 1 számok egy hányadosú mértani sorozat tagjai. Legyen a sorozat -edik tagja . Ekkor: vagy ahol . Ez utóbbi azt is jelenti, hogy a mértani sorozat -edik tagja az -edik és az -edik tagjának a mértani közepe.
A mértani sorozat (más néven geometriai sorozat) a matematika egyik alapvető sorozattípusa, amelyben az egymást követő elemek hányadosa állandó. Ez a hányados a kvóciens, és a sorozat minden elemét az előző elem megszorzásával kapjuk meg.
1. Mértani sorozat definíciója
Egy sorozat akkor mértani sorozat, ha minden elem és az azt követő elem hányadosa állandó:
ahol:
- : a sorozat első eleme (),
- : a mértani sorozat kvóciense ().
A sorozat általános -edik tagja:
2. Példák mértani sorozatra
Egyszerű példák:
- , :
:
Sorozat: .
- , :
:
Sorozat: .
Reális példák:
- Kamatos kamat:
Ha a kezdőtőkét () évente -szeresére növeljük (például az 5%-os kamat esetén), akkor a -edik évben a tőke:
- Fertőzések terjedése:
Ha egy fertőző betegség naponta -szeresére nő, akkor a -edik napon fertőzöttek száma:
- Sugárzás lebomlása:
Radioaktív anyagok esetében a sugárzás intenzitása csökken, például , azaz feleződési idővel.
3. Mértani sorozat összegképlete
Összeg véges sorozat esetén:
A mértani sorozat első tagjának összege () az alábbi képlettel számítható:
Ha , akkor a sorozat elemei azonosak, így az összeg:
Példa:
- , , :
Összeg végtelen sorozat esetén:
Ha a kvóciens abszolút értéke kisebb 1-nél (), akkor a végtelen mértani sorozat összege konvergens, és az alábbi képlettel számítható:
Példa:
- , :
4. Mértani sorozatok tulajdonságai
Növekedés vagy csökkenés:
- Ha : a sorozat növekvő.
- Ha : a sorozat csökkenő.
- Ha : a sorozat elemei váltakoznak előjelesen, de abszolút értékük csökken.
- Ha : a sorozat elemei váltakoznak előjelesen, de abszolút értékük növekszik.
Tartományok:
- A sorozat elemeinek előjele a kvócienstől függ:
- Ha : minden elem azonos előjelű.
- Ha : az elemek előjele váltakozik.
Harmónikus közép és szorzat:
- Ha egy mértani sorozat három egymást követő tagja , akkor:
Ez az elemek mértani középének tulajdonsága.
5. Kapcsolat az exponenciális növekedéssel
A mértani sorozatok szoros kapcsolatban állnak az exponenciális növekedéssel, mert a sorozat -edik tagja:
ahol az alap () konstans, és a kitevő () a változó.
Ezért a mértani sorozatok modellezik azokat a jelenségeket, amelyek exponenciális növekedést vagy csökkenést mutatnak, például:
- Kamatos kamat,
- Populációnövekedés,
- Radioaktív bomlás.
6. Mértani sorozat és valószínűségszámítás
A valószínűségszámításban a geometriai eloszlás a mértani sorozaton alapul. Egy esemény -adik bekövetkezésének valószínűsége:
ahol az esemény valószínűsége, pedig a kudarcos próbálkozások valószínűsége.
Ez egy mértani sorozat, ahol az első tag , és a kvóciens .
7. Történelmi háttér
A mértani sorozatok vizsgálata az ókori görög matematikusokig nyúlik vissza. A Püthagoreusok fedezték fel a mértani közepet, és alkalmazták zenei skálák és arányok vizsgálatára. Az újkori matematikában a sorozatok széles körű alkalmazást nyertek a gazdasági modellekben, a fizikában és a valószínűségszámításban.
8. Gyakorlati alkalmazások
- Pénzügyek:
- Kamatos kamatszámítás.
- Törlesztőrészletek kiszámítása.
- Fizika:
- Radioaktív bomlás.
- Hullámok amplitúdójának csökken
Fordítások
Etimológia
mértani + sorozat