mathematical proof

Angol

Főnév

mathematical proof (tsz. mathematical proofs)

(informatika) matematikai bizonyítás

A mathematical proof (magyarul: matematikai bizonyítás) egy logikai érvelés, amely egy adott állítás igazságát szigorúan és végérvényesen alátámasztja kiindulva axiómákból, definíciókból és korábban bizonyított tételekből.

🔍 Alapvető jellemzők

Deduktív: minden lépés szigorú logikai következtetés.
Formális vagy informális: lehet részletesen levezetett (formális), vagy intuitívabb, közérthetőbb stílusú (informális).
Végleges érvényességű: ha helyes, az állítás örökre igaz, amíg az alapfeltevések érvényesek.

🧩 Fő bizonyítási módszerek

Direkt bizonyítás
- Kiindul az állítás feltételeiből, és lépésről lépésre eljut a kívánt következtetéshez.
- Pl. ha ${\textstyle a}$ páros szám, akkor ${\textstyle a^{2}}$ is páros.
Indirekt bizonyítás (ellentmondásos bizonyítás)
- Feltételezzük, hogy az állítás nem igaz, majd ellentmondásra jutunk.
Kontrapozíciós bizonyítás
- Egy „ha A, akkor B” állítást úgy bizonyítunk, hogy bebizonyítjuk: „ha nem B, akkor nem A”.
Matematikai indukció
- Diszkrét (gyakran természetes számokra vonatkozó) állításokhoz.
- Két lépés: alapeset igazolása + indukciós lépés.
Konstrukciós bizonyítás
- Úgy igazoljuk egy objektum létezését, hogy explicit módon megépítjük.
Egzisztenciális bizonyítás (nem konstruktív)
- Igazoljuk, hogy létezik valami, anélkül hogy megmutatnánk, micsoda.

📘 Példa – Direkt bizonyítás:

Állítás: Ha ${\textstyle n}$ páros szám, akkor ${\textstyle n^{2}}$ is páros.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ${\textstyle n=2k}$ , ahol ${\textstyle k\in \mathbb {Z} }$ . Ekkor: ${\textstyle n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}=2\cdot (2k^{2})}$ . Ez osztható 2-vel → páros. □