non-negative matrix factorization

non-negative matrix factorization (tsz. non-negative matrix factorizations)

1. (informatika) Non-negative Matrix Factorization (NMF) – magyarul: nemnegatív mátrixfelbontás – egy dimenziócsökkentő és adatreprezentációs módszer, amely egy nemnegatív mátrixot két másik, szintén nemnegatív mátrix szorzataként közelít. Célja, hogy a bemeneti adatot értelmezhetőbb, sűrített, „alkotórészekre bontott” formában ábrázolja. Gyakran alkalmazzák képfeldolgozásban, dokumentumelemzésben, ajánlórendszerekben és bioinformatikában.

Egy nemnegatív mátrixot úgy közelítünk, hogy az elemeit pozitív „építőelemek összegeként” fejezzük ki.

Formálisan:

$${\displaystyle X\approx W\cdot H}$$

Ahol:

• ${\textstyle X\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$, az eredeti nemnegatív adatmátrix
• ${\textstyle W\in \mathbb {R} ^{m\times r}}$, a bázismátrix (jellemzők, témák, arckomponensek stb.)
• ${\textstyle H\in \mathbb {R} ^{r\times n}}$, a koefficiensmátrix (súlyok vagy hozzájárulások)
• ${\textstyle r}$: a faktorszám (rejtett dimenziók száma)

• ${\textstyle X}$: dokumentum–szó mátrix (minden cella: adott szó gyakorisága egy dokumentumban)
• ${\textstyle W}$: „témák” a szavak alapján (pl. „sport”, „politika”)
• ${\textstyle H}$: dokumentumok reprezentációja a témák szerint

• ${\textstyle X}$: arcok pixeleinek mátrixa (képek)
• ${\textstyle W}$: „arcrészletek” (pl. szem, száj, orr mint bázisok)
• ${\textstyle H}$: minden arc súlyozott összege a részekből

1. Inicializáljuk ${\textstyle W}$ és ${\textstyle H}$-t véletlenszerűen, pozitív értékekkel

2. Iteratív módon frissítjük őket úgy, hogy csökkenjen a rekonstrukciós hiba:

   $${\displaystyle {\text{minimize}}\quad ||X-WH||_{F}^{2}\quad {\text{subject to}}\quad W,H\geq 0}$$

3. A frissítések tipikusan multiplikatív szabályokon alapulnak (Lee–Seung, 2001)

from sklearn.decomposition import NMF
from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces

faces = fetch_olivetti_faces()
X = faces.data

model = NMF(n_components=16, init='random', random_state=0)
W = model.fit_transform(X)
H = model.components_

# W: arcok komponensei, H: hozzájárulások

📌 NMF az egyetlen, amely csak additív (pozitív) kombinációkat használ → jobban értelmezhető komponensek (pl. alkotórészek).

• 📰 Szövegelemzés, topic modeling (dokumentumok témákra bontása)
• 🖼️ Képtömörítés és arcfeldolgozás
• 🔬 Genomikai mintázatkeresés
• 🎵 Hangforrás-szétválasztás
• 💳 Ajánlórendszerek (pl. Netflix, Amazon – termék/személy profilozás)

• Az eredmény értelmezhetőbb (csak pozitív hozzájárulások)
• Jó dimenziócsökkentés vizualizációhoz, klaszterezéshez

• Nem konvex → csak lokális minimumot garantál
• Érzékeny az inicializálásra
• A komponensek száma (r) előre kell választani

A non-negative matrix factorization (NMF):

• Egy dimenziócsökkentő és komponenskereső technika, amely nemnegatív elemekkel dolgozik
• Különösen jól működik olyan problémákban, ahol a komponensek értelmezhető alkotórészekként jelennek meg
• Alkalmazható szövegfeldolgozástól képelemzésig, ajánlórendszerektől bioinformatikáig

• non-negative matrix factorization - Szótár.net (en-hu)
• non-negative matrix factorization - Sztaki (en-hu)
• non-negative matrix factorization - Merriam–Webster
• non-negative matrix factorization - Cambridge
• non-negative matrix factorization - WordNet
• non-negative matrix factorization - Яндекс (en-ru)
• non-negative matrix factorization - Google (en-hu)
• non-negative matrix factorization - Wikidata
• non-negative matrix factorization - Wikipédia (angol)