objective function

objective function (tsz. objective functions)

1. (informatika) célfüggvény

Az objective function (magyarul: célfüggvény) a matematikai programozás, különösen az optimalizálási feladatok (pl. lineáris programozás, nemlineáris programozás, egészértékű programozás stb.) egyik legfontosabb alkotóeleme. A célfüggvény az, amit minimalizálni vagy maximalizálni szeretnénk, miközben figyelembe vesszük a különböző korlátozó feltételeket (constraint-eket).

Minden optimalizálási probléma középpontjában egy célt találunk — legyen az nyereség maximalizálása, költségek minimalizálása, idő lerövidítése, anyagfelhasználás csökkentése, vagy épp energiahatékonyság javítása. A célfüggvény ezt a célt formalizálja egy matematikai képlet formájában, amely a döntési változók (pl. ${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$) függvénye.

$${\displaystyle {\text{Maximalizálni (vagy minimalizálni): }}Z=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots +c_{n}x_{n}}$$

Itt:

• ${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ → döntési változók
• ${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}$ → a célfüggvény együtthatói (pl. haszon, ár, időegység, stb.)
• ${\textstyle Z}$ → az összérték, amit maximalizálni vagy minimalizálni akarunk

Leggyakoribb ipari és üzleti modellekben. Pl.:

$${\displaystyle Z=8x+5y}$$

Ez azt jelentheti, hogy minden ${\textstyle x}$ termék 8 egység hasznot, minden ${\textstyle y}$ termék 5 egység hasznot hoz.

Ha a célfüggvény tagjai nem lineárisak (pl. ${\textstyle x^{2}}$, ${\textstyle \log(x)}$, ${\textstyle x_{1}x_{2}}$), akkor nemlineáris programozásról beszélünk. Példák:

• Nyereség = ${\textstyle 10x-0.5x^{2}}$ (csökkenő hozadék)
• Energia = ${\textstyle \sum _{i}(x_{i})^{2}}$ (négyzetes költség)

A változók csak egész számokat vehetnek fel (pl. darabszám, gépek száma), a célfüggvény azonban maradhat lineáris.

A célfüggvény értéke (azaz ${\textstyle Z}$) azt mondja meg, milyen jó az adott megoldás:

• Minél nagyobb, annál jobb (ha maximalizálunk)
• Minél kisebb, annál jobb (ha minimalizálunk)

Az optimalizálási algoritmusok (pl. szimplex módszer) célja, hogy megtalálják azt az ${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots }$ értékkombinációt, amely a feltételek teljesítése mellett a célfüggvény legjobb értékét adja.

Feladat: Egy gyár kétféle terméket állít elő: A és B.

• Termék A egységhozama: 3 egység nyereség
• Termék B egységhozama: 5 egység nyereség

Legyen ${\textstyle x}$: termék A mennyisége, ${\textstyle y}$: termék B mennyisége. A cél: Maximalizálni a nyereséget.

$${\displaystyle Z=3x+5y\rightarrow \max }$$

A korlátozó feltételek lehetnek például:

• Munkaidő: ${\textstyle 2x+4y\leq 100}$
• Anyagkészlet: ${\textstyle x+y\leq 40}$
• ${\textstyle x,y\geq 0}$

A célfüggvény világosan mutatja, hogy egy egység termék B gyártása „értékesebb”, mint termék A — de ez csak akkor számít, ha van elég erőforrás.

Vannak olyan helyzetek, ahol több cél is létezik — például:

• Maximalizáljuk a profitot, és minimalizáljuk a környezeti terhelést.

Ez a multi-objective optimization esete. Ezeket általában súlyozással, Pareto-elemzéssel vagy kompromisszumos megközelítéssel oldják meg:

$${\displaystyle Z=w_{1}\cdot {\text{Profit}}-w_{2}\cdot {\text{Környezeti költség}}}$$

A célfüggvény együtthatóinak változása hatással lehet arra, hogy:

• Megváltozik-e az optimális döntés?
• Ugyanaz az eloszlás marad-e optimális?
• Érdemes-e új terméket előnyben részesíteni?

Pl. ha egy termék nyeresége nő, előfordulhat, hogy a gyártási terv teljesen átalakul.

• Profit maximalizálás
• Költség minimalizálás
• Árfolyamkockázat csökkentés

• Szállítási költség csökkentése
• Idő minimalizálása

• Processzorhasználat optimalizálása
• Adathálózatok sávszélességének maximalizálása

• Terméshozam maximalizálása adott földterületen
• Vízfelhasználás minimalizálása

Olykor előfordulhat, hogy a célfüggvény ${\textstyle Z=0}$, vagyis nem akarunk semmit optimalizálni. Ilyenkor az LP-t megvalósíthatósági probléma (feasibility problem) néven emlegetjük, és a cél csak az, hogy találjunk egy megengedett megoldást a feltételeknek megfelelően.

A célfüggvény az optimalizálási feladat szíve. Meghatározza, hogy mit akarunk elérni, miért keresünk megoldást, és milyen irányba haladunk. Fontos tulajdonságai:

• Általában lineáris formában definiáljuk (de lehet nemlineáris is).
• A cél: vagy maximum (nyereség, hatékonyság), vagy minimum (költség, idő, veszteség).
• A változókra megadott feltételek (korlátok) határozzák meg, hogy milyen megoldások lehetségesek.

Az optimalizálási folyamat lényege nem más, mint olyan változóértékek keresése, amelyek a célfüggvény értékét — a korlátok figyelembevételével — a lehető legjobbra hozzák ki.

• objective function - Szótár.net (en-hu)
• objective function - Sztaki (en-hu)
• objective function - Merriam–Webster
• objective function - Cambridge
• objective function - WordNet
• objective function - Яндекс (en-ru)
• objective function - Google (en-hu)
• objective function - Wikidata
• objective function - Wikipédia (angol)